Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0.8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0.6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0.3. Thì xác suất để sinh viên A đạt ít nhất một môn là:

0.86

0.76

0.48

0.52

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Gọi A là biến cố sinh viên đạt môn thứ nhất, B là biến cố sinh viên đạt môn thứ hai. Ta có: P(A) = 0.8 P(B|A) = 0.6 P(B|¬A) = 0.3 Ta cần tính xác suất để sinh viên A đạt ít nhất một môn, tức là P(A∪B). P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Ta có: P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.6 = 0.48 P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2 P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A) = 0.6 * 0.8 + 0.3 * 0.2 = 0.48 + 0.06 = 0.54 P(A∪B) = 0.8 + 0.54 - 0.48 = 0.86 Vậy xác suất để sinh viên A đạt ít nhất một môn là 0.86.

300+ câu hỏi trắc nghiệm Lý thuyết xác suất và thống kê toán lời giải cụ thể từng bước - Phần 2

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0.8; của sinh viên B là 0.7; của sinh viên C là 0.6. Thì xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố sinh viên A, B, C làm được bài. Ta có: P(A) = 0.8; P(B) = 0.7; P(C) = 0.6. Đề bài yêu cầu tính xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài.

Các trường hợp có thể xảy ra là:

1. A và B làm được, C không làm được: P(A) * P(B) * P(¬C) = 0.8 * 0.7 * (1 - 0.6) = 0.8 * 0.7 * 0.4 = 0.224
2. A và C làm được, B không làm được: P(A) * P(C) * P(¬B) = 0.8 * 0.6 * (1 - 0.7) = 0.8 * 0.6 * 0.3 = 0.144
3. B và C làm được, A không làm được: P(B) * P(C) * P(¬A) = 0.7 * 0.6 * (1 - 0.8) = 0.7 * 0.6 * 0.2 = 0.084

Xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài là tổng xác suất của 3 trường hợp trên:

P = 0.224 + 0.144 + 0.084 = 0.452

Vậy đáp án đúng là D. 0.452

Câu 21:

Ở một vùng dân cư, cứ 100 người có 30 người hút thuốc lá. Biết rằng tỷ lệ bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, còn số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên 1 người thì thấy anh ta bị viêm họng. Xác suất người đó hút thuốc lá là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi A là biến cố "người được chọn hút thuốc", B là biến cố "người được chọn bị viêm họng".
Ta có: P(A) = 30/100 = 0.3
P(B|A) = 60% = 0.6
P(B|¬A) = 30% = 0.3
Cần tính P(A|B).
Theo công thức Bayes:
P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / [P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)]
P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7
P(A|B) = (0.6 * 0.3) / (0.6 * 0.3 + 0.3 * 0.7) = 0.18 / (0.18 + 0.21) = 0.18 / 0.39 ≈ 0.4615
Vậy đáp án là 0.4615.

Câu 22:

Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai D(X):

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đây là bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc. Ta có tổng cộng 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm và 4 sản phẩm tốt. Ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được. X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.

Để tính phương sai D(X), ta cần tính E(X) và E(X^2). Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng phân phối siêu bội.
Gọi N là tổng số sản phẩm (N=7), K là số sản phẩm tốt (K=4), n là số sản phẩm được chọn (n=4).
X có phân phối siêu bội với các tham số N, K, n.
E(X) = n*K/N = 4*4/7 = 16/7.
E[X(X-1)] = n(n-1) * K(K-1) / (N(N-1)) = 4*3*4*3 / (7*6) = 72/42 = 12/7
E(X^2) = E[X(X-1)] + E(X) = 12/7 + 16/7 = 28/7 = 4
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4 - (16/7)^2 = 4 - 256/49 = (196 - 256)/49 = -60/49. Tuy nhiên, phương sai không thể âm. Có vẻ như có lỗi trong quá trình tính toán. Cách khác:
Tính xác suất để chọn được x sản phẩm tốt (và 4-x phế phẩm):
P(X=x) = (C(4,x) * C(3, 4-x)) / C(7,4), với C(n,k) là tổ hợp chập k của n.
Các giá trị có thể của x là 1, 2, 3, 4.
P(X=1) = (C(4,1) * C(3,3)) / C(7,4) = (4 * 1) / 35 = 4/35
P(X=2) = (C(4,2) * C(3,2)) / C(7,4) = (6 * 3) / 35 = 18/35
P(X=3) = (C(4,3) * C(3,1)) / C(7,4) = (4 * 3) / 35 = 12/35
P(X=4) = (C(4,4) * C(3,0)) / C(7,4) = (1 * 1) / 35 = 1/35
E(X) = 1*4/35 + 2*18/35 + 3*12/35 + 4*1/35 = (4 + 36 + 36 + 4)/35 = 80/35 = 16/7
E(X^2) = 1^2 * 4/35 + 2^2 * 18/35 + 3^2 * 12/35 + 4^2 * 1/35 = (4 + 72 + 108 + 16) / 35 = 200/35 = 40/7
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 40/7 - (16/7)^2 = 40/7 - 256/49 = (280 - 256)/49 = 24/49

Câu 23:

Xác suất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 hành khách.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Bài toán này thuộc loại tìm số khả năng xảy ra nhiều nhất trong phân phối nhị thức. Gọi X là số khách chậm tàu trong 855 hành khách. X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 855 và p = 0.02. Số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất (mode) là giá trị k sao cho P(X = k) lớn nhất. Ta có thể tìm k bằng cách sử dụng bất đẳng thức: (n + 1)p - 1 ≤ k ≤ (n + 1)p.

Tính (n + 1)p = (855 + 1) * 0.02 = 856 * 0.02 = 17.12.

Vậy, 17.12 - 1 ≤ k ≤ 17.12 hay 16.12 ≤ k ≤ 17.12. Vì k phải là số nguyên, nên k có thể là 17.

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem k = 16 hoặc k = 17 có xác suất cao hơn. Ta có thể sử dụng công thức sau để tìm mode:
mode = floor((n + 1) * p)
nếu (n+1)*p không phải là số nguyên.
mode = (n+1)*p hoặc (n+1)*p -1 nếu (n+1)*p là số nguyên. Vì (n+1)*p = 17.12 không phải là số nguyên, nên mode = floor(17.12) = 17. Do đó, số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất là 17.

Câu 24:

Gieo 6 lần một đồng xu cân đối đồng chất. Xác suất để đồng xu sấp không quá 3 lần.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu 6 lần. X tuân theo phân phối nhị thức B(6, 0.5) vì đồng xu cân đối. Ta cần tính P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

Công thức xác suất cho phân phối nhị thức là P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), trong đó n là số lần thử, k là số lần thành công, và p là xác suất thành công.

Ở đây, n = 6, p = 0.5. Vậy:

P(X = 0) = C(6, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^6 = 1 * 1 * (0.5)^6 = 1/64

P(X = 1) = C(6, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^5 = 6 * (0.5)^6 = 6/64

P(X = 2) = C(6, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^4 = 15 * (0.5)^6 = 15/64

P(X = 3) = C(6, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^3 = 20 * (0.5)^6 = 20/64

P(X ≤ 3) = (1 + 6 + 15 + 20) / 64 = 42 / 64 = 21/32.

Câu 25:

Xác suất bắn trúng bằng 0,7. Bắn 25 phát. Số lần có khả năng bắn trúng nhất.

Lời giải: