Trả lời:
Đáp án đúng: A
Đầu tiên, ta cần tìm P(X ≤ 1) và P(X ≥ 1). Vì hàm mật độ f(x) chỉ được định nghĩa trên khoảng (0, 1), nên P(X ≤ 1) là tích phân của f(x) từ 0 đến 1, và P(X ≥ 2) = 0. Do đó P(X ≤ 14) = P(X ≤ 1) và P(X ≥ 12) = P(X ≥ 1).
Ta có:
P(X ≤ 1) = ∫012(x+2)5dx = 25∫01(x+2)dx = 25[x22+2x]01 = 25(12+2−0) = 25⋅52 = 15
P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - ∫012(x+2)5dx = 1 - 15 = 45
Vậy, P(X ≤ 1) + P(X ≥ 1) = 15+45 = 1. (Do đề bài có vẻ có sự nhầm lẫn về khoảng giá trị của X, giả sử P(X≤1)+P(X≥1) = P(X≤1) + (1 - P(X<1)) =1)
Ta tính lại như sau:
P(X≤4) = ∫012(x+2)5dx = 2/5 * (x^2/2 + 2x)| cận từ 0 đến 1 = 2/5 * (1/2 + 2) = 2/5 * 5/2 = 1/5 *5 = 1
P(X≥2)=0 (vì x chỉ từ 0 đến 1)
=> P(X ≤ 1) + P(X ≥ 2) = 1 + 0 =1. Vì các đáp án đều khác 1, nên có thể có lỗi trong đề bài, hoặc sai sót khi nhập liệu. Tuy nhiên, ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm ra đáp án có vẻ hợp lý nhất.
Vì đề bài cho P(X≤14)+P(X≥12), trong khi x chỉ nằm trong khoảng (0,1). Ta có thể hiểu câu hỏi là P(X≤1) + (1-P(X<2)) = P(X≤1) + (1-1) = P(X≤1) = 0.5 => không có đáp án phù hợp.
Ta sẽ xem xét trường hợp khác. Nếu đề bài là P(X≤0.4)+P(X≥0.2), ta sẽ tính toán như sau:
P(X≤0.4) = ∫00.42(x+2)5dx = 2/5 ∫00.4(x+2)dx = 2/5[x^2/2+2x]|00.4 = 2/5*(0.4^2/2 + 2*0.4)=2/5*(0.16/2 + 0.8)=2/5*(0.08+0.8)=2/5*0.88=1.76/5=0.352
P(X≥0.2) = ∫0.212(x+2)5dx=2/5∫0.21(x+2)dx=2/5[x^2/2+2x]|0.21=2/5*((1^2/2+2)-(0.2^2/2+0.2*2)) = 2/5*(2.5-(0.02+0.4)) = 2/5*(2.5-0.42)=2/5*2.08=4.16/5=0.832
P(X≤0.4)+P(X≥0.2) = 0.352+0.832=1.184. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Với dữ kiện đề bài, ta thấy không có đáp án nào đúng, tuy nhiên ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất.
