Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\), ta cần xét dấu của biểu thức \({e^x} - 1\) trên đoạn \([-1, 1]\).
Ta có \({e^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Khi \(x < 0\) thì \({e^x} < 1\), suy ra \({e^x} - 1 < 0\). Do đó, trên khoảng \((-1, 0)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = 1 - {e^x}\).
Khi \(x > 0\) thì \({e^x} > 1\), suy ra \({e^x} - 1 > 0\). Do đó, trên khoảng \((0, 1)\), \(\left| {{e^x} - 1} \right| = {e^x} - 1\).
Vậy, ta có:
\(\begin{aligned}\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx &= \int\limits_{ - 1}^0 {(1 - {e^x})dx} + \int\limits_0^1 {({e^x} - 1)dx} \\&= \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1\\&= \left[ {(0 - {e^0}) - ( - 1 - {e^{ - 1}})} \right] + \left[ {({e^1} - 1) - ({e^0} - 0)} \right]\\&= \left[ { - 1 + 1 + \frac{1}{e}} \right] + \left[ {e - 1 - 1} \right]\\&= \frac{1}{e} + e - 2\\&= e + \frac{1}{e} - 2\end{aligned}\)
Vậy đáp án đúng là \(e + \frac{1}{e} - 2\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
