Năng suất lao động của một xí nghiệp trong tahngs 5/1999 như sau:

NSLĐ kg/1CN             Số CN

100 – 200                        24

200 – 300                        32

300 – 400                        20

400 – 500                        40

500 – 600                        50

Tính năng suất lao động bình quân của xí nghiệp:

Để tính tốc độ tăng trưởng trung bình qua các năm, ta sử dụng công thức:

Tốc độ tăng trưởng trung bình = căn bậc (n-1) của (Sản lượng năm cuối / Sản lượng năm đầu) - 1

Trong đó n là số năm.

Ở đây, sản lượng năm đầu (1990) là 100, sản lượng năm cuối (1992) là 400 và số năm là 3.

Vậy tốc độ tăng trưởng trung bình = căn bậc (3-1) của (400/100) = căn bậc 2 của 4 = 2

Tuy nhiên, đề bài hỏi tốc độ tăng (giảm) trung bình, nghĩa là hỏi mỗi năm trung bình sản lượng tăng lên bao nhiêu lần. Để tính tốc độ tăng trung bình, ta lấy căn bậc hai của tỷ lệ tăng trưởng và ta có căn bậc hai của 4 là 2.

Vậy, tốc độ tăng trưởng trung bình là 2, hay sản lượng tăng trung bình 2 lần.

Tuy nhiên, các đáp án lại không có số 2 mà là 1,2; 1; 1,5; 1,3; 1,8. Có vẻ như đề bài và đáp án đang có sự nhầm lẫn giữa tốc độ tăng trưởng (growth rate) và hệ số tăng trưởng (growth factor). Theo cách hiểu đúng của tốc độ tăng trưởng thì không có đáp án nào đúng.

Nếu tính theo cách hiểu gần đúng là tính hệ số tăng trưởng bình quân mỗi năm, ta tính như sau:

Năm 1991 so với 1990 tăng 200/100 = 2 lần
Năm 1992 so với 1991 tăng 400/200 = 2 lần

Vậy trung bình mỗi năm tăng 2 lần. Tuy nhiên, cách tính này lại không phải là cách tính tốc độ tăng trưởng trung bình chính xác.

Do đó, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để tính chỉ số tổng hợp giá cả theo công thức lấy quyền số kỳ nghiên cứu (còn gọi là công thức Paasche), ta sử dụng công thức sau:

Chỉ số Paasche = (∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q1)) * 100

Trong đó:
- p1 là giá kỳ nghiên cứu
- p0 là giá kỳ gốc
- q1 là sản lượng kỳ nghiên cứu

Dựa vào bảng số liệu đã cho:

- ∑(p1 * q1) = (15 * 300) + (22 * 150) = 4500 + 3300 = 7800
- ∑(p0 * q1) = (12 * 300) + (20 * 150) = 3600 + 3000 = 6600

Chỉ số Paasche = (7800 / 6600) * 100 ≈ 118.18%

Vì đây là chỉ số giá, chúng ta cần đưa về dạng thập phân để so sánh với các đáp án. Lấy 118.18 chia cho 100 ta được 1.1818. Tuy nhiên, không có đáp án nào chính xác tuyệt đối. Trong các đáp án được đưa ra, đáp án gần nhất với kết quả tính toán là 1.175.

Do đó, ta có thể hiểu rằng câu hỏi có thể có sai sót trong số liệu hoặc các phương án trả lời. Tuy nhiên, dựa vào cách tính và các phương án, ta chọn đáp án gần đúng nhất.

Công thức tính tốc độ phát triển định gốc T4 là tích của các tốc độ phát triển liên hoàn từ thời kỳ gốc đến thời kỳ 4. Trong trường hợp này, T4 = t2 * t3 * t4 = 1,2 * 1,1 * 1,25 = 1,65. Vậy đáp án đúng là 1,65.

Công nhân 1 sản xuất 1 sản phẩm hết 2 phút, vậy 1 giờ (60 phút) sản xuất được 60/2 = 30 sản phẩm.
Công nhân 2 sản xuất 1 sản phẩm hết 3 phút, vậy 1 giờ (60 phút) sản xuất được 60/3 = 20 sản phẩm.
Cả hai công nhân cùng làm trong 1 giờ sản xuất được 30 + 20 = 50 sản phẩm.
Vậy, thời gian bình quân để sản xuất 1 sản phẩm của cả hai công nhân là 60/50 = 1.2 phút/sản phẩm. Tuy nhiên, đây không phải là một trong các đáp án. Bài toán này đang hỏi thời gian bình quân để *mỗi* công nhân sản xuất *một* sản phẩm.

Cách giải đúng:
Gọi thời gian bình quân là T. Trong cùng một khoảng thời gian, công nhân 1 làm được T/2 sản phẩm, công nhân 2 làm được T/3 sản phẩm. Vì có 2 công nhân, tổng số sản phẩm làm được là 2. Ta có phương trình: T/2 + T/3 = 2. Giải phương trình này: (3T + 2T)/6 = 2 => 5T = 12 => T = 12/5 = 2.4 phút.

Vậy đáp án đúng là 2,4 phút.

Để tìm trung vị, ta cần xác định lớp chứa trung vị. Tổng số sản phẩm là 5 + 10 + 20 + 10 + 5 = 50. Trung vị là giá trị ở vị trí (50+1)/2 = 25.5, tức là trung bình cộng của giá trị thứ 25 và 26.

Lớp 1: 5 sản phẩm
Lớp 2: 5+10 = 15 sản phẩm
Lớp 3: 5+10+20 = 35 sản phẩm

Vậy lớp chứa trung vị là lớp 3 (62-66). Ta cần nội suy để tìm giá trị trung vị. Gọi Me là trung vị, L là giới hạn dưới của lớp chứa trung vị (62), n là tổng số sản phẩm (50), F là tần số tích lũy của lớp trước lớp chứa trung vị (15), f là tần số của lớp chứa trung vị (20), và w là độ rộng của lớp (66-62 = 4).

Công thức trung vị: Me = L + [(n/2 - F) / f] * w = 62 + [(50/2 - 15) / 20] * 4 = 62 + [(25-15)/20] * 4 = 62 + (10/20) * 4 = 62 + 0.5 * 4 = 62 + 2 = 64.

Vậy trung vị là 64. Tuy nhiên đáp án này không có trong các lựa chọn. Do đề bài cho bảng năng suất lao động dạng rời rạc nên ta cần xác định giá trị thứ 25 và 26 rơi vào khoảng nào.
- Khoảng 58-62 có 10 sản phẩm
- Khoảng 62-66 có 20 sản phẩm. Như vậy giá trị thứ 25 và 26 thuộc khoảng 62-66.
Giá trị trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 25 và 26. Giá trị thứ 25 và 26 nằm trong khoảng 62-66, vậy trung vị phải nằm trong khoảng 62-66. Trong các đáp án, đáp án gần nhất với 64 là 64.3.