Một lớp học có 30 sinh viên, trong đó có 5 em giỏi, 10 em khá và 10 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em trong lớp. Xác suất để cả 3 em được chọn đều là sinh viên yếu:

Ta có tổng cộng 10 bi, chia thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 5 bi.
Số cách chia 10 bi thành 2 phần 5 bi là C(10,5).
Để mỗi phần có cùng số bi đỏ và bi xanh, tức là mỗi phần có 2 bi đỏ và 3 bi xanh.
Số cách chọn 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ là C(4,2) = 6.
Số cách chọn 3 bi xanh từ 6 bi xanh là C(6,3) = 20.
Số cách chia để mỗi phần có 2 bi đỏ và 3 bi xanh là C(4,2) * C(6,3) = 6 * 20 = 120.
Tổng số cách chia 10 bi thành 2 phần 5 bi là C(10,5) = 10! / (5! * 5!) = (10*9*8*7*6) / (5*4*3*2*1) = 252.
Xác suất để mỗi phần đều có cùng số bi đỏ và bi xanh là 120/252 = 10/21.
Vậy đáp án đúng là B.

Gọi A là biến cố "nguồn thu nhận được thông tin".
Biến cố đối của A là Α = "nguồn không thu được thông tin lần nào cả".
P(A) = 1 - P(Α).
Vì xác suất thu được thông tin mỗi lần là 0,4, suy ra xác suất không thu được thông tin mỗi lần là 1 - 0,4 = 0,6.
Do tín hiệu được phát 3 lần độc lập, P(Α) = (0,6)^3 = 0,216.
Vậy, P(A) = 1 - 0,216 = 0,784.

Đầu tiên, ta cần tìm P(X ≤ 1) và P(X ≥ 1). Vì hàm mật độ f(x) chỉ được định nghĩa trên khoảng (0, 1), nên P(X ≤ 1) là tích phân của f(x) từ 0 đến 1, và P(X ≥ 2) = 0. Do đó P(X ≤ 14) = P(X ≤ 1) và P(X ≥ 12) = P(X ≥ 1).

Ta có:

P(X ≤ 1) = ∫012(x+2)5dx = 25∫01(x+2)dx = 25[x22+2x]01 = 25(12+2−0) = 25⋅52 = 15

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - ∫012(x+2)5dx = 1 - 15 = 45
Vậy, P(X ≤ 1) + P(X ≥ 1) = 15+45 = 1. (Do đề bài có vẻ có sự nhầm lẫn về khoảng giá trị của X, giả sử P(X≤1)+P(X≥1) = P(X≤1) + (1 - P(X<1)) =1)
Ta tính lại như sau:
P(X≤4) = ∫012(x+2)5dx = 2/5 * (x^2/2 + 2x)| cận từ 0 đến 1 = 2/5 * (1/2 + 2) = 2/5 * 5/2 = 1/5 *5 = 1
P(X≥2)=0 (vì x chỉ từ 0 đến 1)
=> P(X ≤ 1) + P(X ≥ 2) = 1 + 0 =1. Vì các đáp án đều khác 1, nên có thể có lỗi trong đề bài, hoặc sai sót khi nhập liệu. Tuy nhiên, ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm ra đáp án có vẻ hợp lý nhất.
Vì đề bài cho P(X≤14)+P(X≥12), trong khi x chỉ nằm trong khoảng (0,1). Ta có thể hiểu câu hỏi là P(X≤1) + (1-P(X<2)) = P(X≤1) + (1-1) = P(X≤1) = 0.5 => không có đáp án phù hợp.

Ta sẽ xem xét trường hợp khác. Nếu đề bài là P(X≤0.4)+P(X≥0.2), ta sẽ tính toán như sau:
P(X≤0.4) = ∫00.42(x+2)5dx = 2/5 ∫00.4(x+2)dx = 2/5[x^2/2+2x]|00.4 = 2/5*(0.4^2/2 + 2*0.4)=2/5*(0.16/2 + 0.8)=2/5*(0.08+0.8)=2/5*0.88=1.76/5=0.352
P(X≥0.2) = ∫0.212(x+2)5dx=2/5∫0.21(x+2)dx=2/5[x^2/2+2x]|0.21=2/5*((1^2/2+2)-(0.2^2/2+0.2*2)) = 2/5*(2.5-(0.02+0.4)) = 2/5*(2.5-0.42)=2/5*2.08=4.16/5=0.832
P(X≤0.4)+P(X≥0.2) = 0.352+0.832=1.184. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Với dữ kiện đề bài, ta thấy không có đáp án nào đúng, tuy nhiên ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất.

Đây là bài toán về phép thử Bernoulli. Mỗi lần gieo đồng xu là một phép thử Bernoulli với xác suất thành công (mặt ngửa) là 1/2 và xác suất thất bại (mặt sấp) là 1/2. Ta cần tìm xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa trong 6 lần gieo.

Xác suất này được tính theo công thức Bernoulli:

P(k lần thành công trong n lần thử) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Trong đó:
- n là số lần thử (ở đây n = 6)
- k là số lần thành công (ở đây k = 4)
- p là xác suất thành công trong mỗi lần thử (ở đây p = 1/2)
- C(n, k) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng n! / (k! * (n-k)!)

Vậy ta có:
C(6, 4) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
p^k = (1/2)^4 = 1/16
(1-p)^(n-k) = (1/2)^(6-4) = (1/2)^2 = 1/4

Vậy P(4 lần ngửa trong 6 lần gieo) = 15 * (1/16) * (1/4) = 15/64

Vậy đáp án đúng là A. 15/64

Gọi A, B, C là các biến cố đã cho.
Ta có P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(C) = 1/4.
Các biến cố A, B, C độc lập.
Gọi D là biến cố "ít nhất một biến cố xảy ra".
Khi đó, biến cố đối của D là \(\overline D\) = "không có biến cố nào xảy ra", tức là \(\overline D = \overline A \cap \overline B \cap \overline C\).
Vì A, B, C độc lập nên \(\overline A, \overline B, \overline C\) cũng độc lập.
Ta có: P(\(\overline A\)) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2
P(\(\overline B\)) = 1 - P(B) = 1 - 2/3 = 1/3
P(\(\overline C\)) = 1 - P(C) = 1 - 1/4 = 3/4
Suy ra P(\(\overline D\)) = P(\(\overline A \cap \overline B \cap \overline C\)) = P(\(\overline A\)).P(\(\overline B\)).P(\(\overline C\) )= (1/2).(1/3).(3/4) = 3/24 = 1/8.
Vậy, P(D) = 1 - P(\(\overline D\)) = 1 - 1/8 = 7/8.