Một hộp bi gồm 4 bi đỏ và 6 bi xanh (cùng kích cỡ) được chia thành hai phần bằng nhau. Xác suất để mỗi phần đều có cùng số bi đỏ và bi xanh:

Gọi A là biến cố "nguồn thu nhận được thông tin".
Biến cố đối của A là Α = "nguồn không thu được thông tin lần nào cả".
P(A) = 1 - P(Α).
Vì xác suất thu được thông tin mỗi lần là 0,4, suy ra xác suất không thu được thông tin mỗi lần là 1 - 0,4 = 0,6.
Do tín hiệu được phát 3 lần độc lập, P(Α) = (0,6)^3 = 0,216.
Vậy, P(A) = 1 - 0,216 = 0,784.

Đầu tiên, ta cần tìm P(X ≤ 1) và P(X ≥ 1). Vì hàm mật độ f(x) chỉ được định nghĩa trên khoảng (0, 1), nên P(X ≤ 1) là tích phân của f(x) từ 0 đến 1, và P(X ≥ 2) = 0. Do đó P(X ≤ 14) = P(X ≤ 1) và P(X ≥ 12) = P(X ≥ 1).

Ta có:

P(X ≤ 1) = ∫012(x+2)5dx = 25∫01(x+2)dx = 25[x22+2x]01 = 25(12+2−0) = 25⋅52 = 15

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - ∫012(x+2)5dx = 1 - 15 = 45
Vậy, P(X ≤ 1) + P(X ≥ 1) = 15+45 = 1. (Do đề bài có vẻ có sự nhầm lẫn về khoảng giá trị của X, giả sử P(X≤1)+P(X≥1) = P(X≤1) + (1 - P(X<1)) =1)
Ta tính lại như sau:
P(X≤4) = ∫012(x+2)5dx = 2/5 * (x^2/2 + 2x)| cận từ 0 đến 1 = 2/5 * (1/2 + 2) = 2/5 * 5/2 = 1/5 *5 = 1
P(X≥2)=0 (vì x chỉ từ 0 đến 1)
=> P(X ≤ 1) + P(X ≥ 2) = 1 + 0 =1. Vì các đáp án đều khác 1, nên có thể có lỗi trong đề bài, hoặc sai sót khi nhập liệu. Tuy nhiên, ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm ra đáp án có vẻ hợp lý nhất.
Vì đề bài cho P(X≤14)+P(X≥12), trong khi x chỉ nằm trong khoảng (0,1). Ta có thể hiểu câu hỏi là P(X≤1) + (1-P(X<2)) = P(X≤1) + (1-1) = P(X≤1) = 0.5 => không có đáp án phù hợp.

Ta sẽ xem xét trường hợp khác. Nếu đề bài là P(X≤0.4)+P(X≥0.2), ta sẽ tính toán như sau:
P(X≤0.4) = ∫00.42(x+2)5dx = 2/5 ∫00.4(x+2)dx = 2/5[x^2/2+2x]|00.4 = 2/5*(0.4^2/2 + 2*0.4)=2/5*(0.16/2 + 0.8)=2/5*(0.08+0.8)=2/5*0.88=1.76/5=0.352
P(X≥0.2) = ∫0.212(x+2)5dx=2/5∫0.21(x+2)dx=2/5[x^2/2+2x]|0.21=2/5*((1^2/2+2)-(0.2^2/2+0.2*2)) = 2/5*(2.5-(0.02+0.4)) = 2/5*(2.5-0.42)=2/5*2.08=4.16/5=0.832
P(X≤0.4)+P(X≥0.2) = 0.352+0.832=1.184. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Với dữ kiện đề bài, ta thấy không có đáp án nào đúng, tuy nhiên ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất.

Đây là bài toán về phép thử Bernoulli. Mỗi lần gieo đồng xu là một phép thử Bernoulli với xác suất thành công (mặt ngửa) là 1/2 và xác suất thất bại (mặt sấp) là 1/2. Ta cần tìm xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa trong 6 lần gieo.

Xác suất này được tính theo công thức Bernoulli:

P(k lần thành công trong n lần thử) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Trong đó:
- n là số lần thử (ở đây n = 6)
- k là số lần thành công (ở đây k = 4)
- p là xác suất thành công trong mỗi lần thử (ở đây p = 1/2)
- C(n, k) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng n! / (k! * (n-k)!)

Vậy ta có:
C(6, 4) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
p^k = (1/2)^4 = 1/16
(1-p)^(n-k) = (1/2)^(6-4) = (1/2)^2 = 1/4

Vậy P(4 lần ngửa trong 6 lần gieo) = 15 * (1/16) * (1/4) = 15/64

Vậy đáp án đúng là A. 15/64

Gọi A, B, C là các biến cố đã cho.
Ta có P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(C) = 1/4.
Các biến cố A, B, C độc lập.
Gọi D là biến cố "ít nhất một biến cố xảy ra".
Khi đó, biến cố đối của D là \(\overline D\) = "không có biến cố nào xảy ra", tức là \(\overline D = \overline A \cap \overline B \cap \overline C\).
Vì A, B, C độc lập nên \(\overline A, \overline B, \overline C\) cũng độc lập.
Ta có: P(\(\overline A\)) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2
P(\(\overline B\)) = 1 - P(B) = 1 - 2/3 = 1/3
P(\(\overline C\)) = 1 - P(C) = 1 - 1/4 = 3/4
Suy ra P(\(\overline D\)) = P(\(\overline A \cap \overline B \cap \overline C\)) = P(\(\overline A\)).P(\(\overline B\)).P(\(\overline C\) )= (1/2).(1/3).(3/4) = 3/24 = 1/8.
Vậy, P(D) = 1 - P(\(\overline D\)) = 1 - 1/8 = 7/8.

Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm đều nhau (mỗi nhóm 4 người) là: C(12,4) * C(8,4) * C(4,4) / 3! = (12!)/(4!4!4!3!) = 34650

Số cách chia 3 nữ sinh vào 3 nhóm, mỗi nhóm 1 người là: C(3,1) * C(2,1) * C(1,1) = 3! = 6
Số cách chia 9 nam sinh vào 3 nhóm, mỗi nhóm 3 người là: C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = (9!)/(3!3!3!3!) = 280

Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 1 nữ sinh là: 6 * 280 = 1680

Xác suất để mỗi nhóm có 1 sinh viên nữ là: 1680/34650 = 0.0485

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có lẽ có một sự nhầm lẫn trong các phương án trả lời hoặc trong cách đặt câu hỏi. Để chắc chắn, ta xét cách tính khác.

Chọn 3 sinh viên nữ vào 3 nhóm: C(3,1) * C(2,1) * C(1,1) = 3! = 6 cách.
Chọn 3 sinh viên nam vào nhóm 1: C(9,3) cách.
Chọn 3 sinh viên nam vào nhóm 2: C(6,3) cách.
Chọn 3 sinh viên nam vào nhóm 3: C(3,3) cách.
Chia 3 nhóm này cho 3! cách.
Số cách chia thỏa mãn: 6 * C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = 6 * (9!)/(3!3!3!3!) = 6 * 1680/6=1680
Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm bất kỳ: C(12,4) * C(8,4) * C(4,4) / 3! = (12!)/(4!4!4!3!) = 34650
Xác suất: 1680/34650 = 8/165 ≈ 0.0485.
Vì không có đáp án nào đúng, ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất.
Xét lại cách tính khác:
Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên vào nhóm 1: C(12,4) = 495
Để nhóm 1 có 1 nữ: C(3,1)*C(9,3) = 3*84 = 252
Xác suất nhóm 1 có 1 nữ: 252/495 = 28/55
Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên vào nhóm 2 từ 8 sinh viên còn lại: C(8,4) = 70
Để nhóm 2 có 1 nữ từ 2 nữ còn lại: C(2,1)*C(6,3) = 2*20 = 40
Xác suất nhóm 2 có 1 nữ: 40/70 = 4/7
Nhóm 3 chắc chắn có 1 nữ.
Xác suất cuối cùng: (28/55)*(4/7) = 16/55 ≈ 0.2909
Vậy đáp án gần đúng nhất là C. 0.2909