Hàm số f (x, y) = x² + y² − 2x + 4y + 1 có 1 điểm dừng là :

Để tìm ma trận nghịch đảo, ta cần tính định thức của ma trận và ma trận phụ hợp (adjoint). Nếu định thức khác 0, ma trận có nghịch đảo. Ma trận nghịch đảo được tính bằng công thức: A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A). Xem xét các bước tính toán cụ thể cho ma trận đã cho (nếu có) để xác định ma trận nghịch đảo chính xác.

Để tìm phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính, ta cần kiểm tra các điểm cực biên của miền ràng buộc và so sánh giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm đó.

1. Vẽ miền ràng buộc:
- Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình ràng buộc.
- Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình (nửa mặt phẳng).
- Giao các miền nghiệm này lại, ta được miền chấp nhận được (miền ràng buộc).

2. Xác định các điểm cực biên: Các điểm cực biên là giao điểm của các đường thẳng biên của miền ràng buộc. Từ hình vẽ, ta có các điểm cực biên sau:
- (0, 0)
- (3, 0)
- (0, 3)
- (1, 1)

3. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm cực biên:
- f(x, y) = x + y
- Tại (0, 0): f(0, 0) = 0 + 0 = 0
- Tại (3, 0): f(3, 0) = 3 + 0 = 3
- Tại (0, 3): f(0, 3) = 0 + 3 = 3
- Tại (1, 1): f(1, 1) = 1 + 1 = 2

4. So sánh và kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu là 3, đạt được tại hai điểm (3, 0) và (0, 3).
- Dựa vào hình vẽ và đối chiếu các đáp án, có vẻ như đề bài đã bỏ sót điểm cực biên (1,1). Tuy nhiên ta vẫn phải chọn đáp án đúng nhất theo những gì đề bài cho. Ở đây (3;0) là một trong các đáp án tối ưu, trong khi đáp án (1;0) lại không thuộc miền chấp nhận được. (0;3) cũng là 1 đáp án tối ưu. Tuy nhiên việc chọn (0;3) thì lại loại (3;0) và (1;0). Do đó đáp án chính xác nhất là D. Cả ba câu trên đều sai. Đề bài gốc có lẽ đã bỏ sót một vài đáp án trong quá trình biên soạn.

Vì vậy đáp án đúng nhất là: D. Cả ba câu trên đều sai.

Bài toán yêu cầu tìm phương án tối ưu của bài toán xuất phát khi biết phương án tối ưu của bài toán mở rộng. Vì x*= (−2; −3; 0; 1; 2) là phương án tối ưu của bài toán mở rộng với x5 là ẩn giả, ta loại bỏ ẩn giả x5 để được phương án của bài toán xuất phát. Do đó, phương án tối ưu của bài toán xuất phát là (−2; −3; 0; 1).

Bài toán này liên quan đến phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng cách sử dụng bài toán mở rộng (bài toán M) và cách tìm ra phương án tối ưu của bài toán gốc từ phương án tối ưu của bài toán mở rộng.

Phương án tối ưu của bài toán mở rộng là x* = (-3; 0; 1; 0), trong đó x4 là ẩn giả. Ẩn giả được thêm vào để chuyển bài toán gốc về dạng có thể áp dụng thuật toán đơn hình. Giá trị của ẩn giả trong phương án tối ưu cho biết:

* Nếu x4 = 0: Phương án tối ưu của bài toán mở rộng cũng là phương án tối ưu của bài toán gốc, chỉ cần loại bỏ biến giả.
* Nếu x4 ≠ 0: Bài toán gốc không có phương án tối ưu.

Trong trường hợp này, x4 = 0, do đó phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án của bài toán mở rộng sau khi loại bỏ biến giả x4. Tức là x* = (-3; 0; 1). Vì biến x2 = 0 nên ta có thể bỏ qua và phương án tối ưu là x* = (-3; 1).

Để tìm phương án tối ưu của bài toán, ta cần kiểm tra các điểm được đưa ra trong các phương án A, B, C xem có thỏa mãn các ràng buộc và tối ưu hóa hàm mục tiêu hay không.

1. Kiểm tra các ràng buộc:

* Phương án A: x* = (2; 5)
* x1 = 2 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* x2 = 5 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* 2x1 + 5x2 = 2*2 + 5*5 = 4 + 25 = 29 ≤ 30 (Thỏa mãn)

* Phương án B: x* = (0; 0)
* x1 = 0 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* x2 = 0 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* 2x1 + 5x2 = 2*0 + 5*0 = 0 ≤ 30 (Thỏa mãn)

* Phương án C: x* = (6; 4)
* x1 = 6 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* x2 = 4 ≥ 0 (Thỏa mãn)
* 2x1 + 5x2 = 2*6 + 5*4 = 12 + 20 = 32 > 30 (Không thỏa mãn)

Như vậy, phương án C bị loại vì không thỏa mãn ràng buộc.

2. So sánh giá trị hàm mục tiêu:

* Với phương án A: f(x) = 5x1 + 8x2 = 5*2 + 8*5 = 10 + 40 = 50
* Với phương án B: f(x) = 5x1 + 8x2 = 5*0 + 8*0 = 0

Ta thấy, phương án A cho giá trị hàm mục tiêu lớn hơn phương án B. Tuy nhiên, chúng ta cần xác định xem liệu có điểm nào khác thỏa mãn ràng buộc mà cho giá trị hàm mục tiêu lớn hơn 50 hay không. Để làm điều này, ta nhận thấy x1 = 0 thì x2 <=6 => f(x) =8*6 =48 <50, và nếu x2=0 thì x1 <=15 => f(x)= 5*15 =75 . Tuy nhiên, không có đáp án nào thỏa mãn điều kiện này. Như vậy, ta xét một số điểm gần với đường biên để hàm mục tiêu có thể đạt giá trị lớn nhất, và x1, x2 phải là số tự nhiên.

* x1=15, x2=0 -> f(x) = 5*15 = 75
* x1=10, x2=2-> f(x) = 5*10 + 8*2 = 66
* x1=5, x2=4-> f(x) = 5*5 + 8*4 = 57
* x1=0, x2=6-> f(x) = 8*6 = 48

Nhận thấy rằng, ở đây không có đáp án nào là đáp án tối ưu cả.
=> Đáp án đúng là D.