Cho quan hệ kinh tế Y = F(X). Xét tại điểm X⁰, giả sử biên tế của Y là 4,5 và trung bình của Y là 1,6. Tìm hệ số co giãn của Y theo X tại X⁰.

Để tổng chi phí đạt cực tiểu thỏa mãn ràng buộc F(K, L) = Q₀, ta cần thiết lập hàm Lagrange: L(K, L, λ) = TC(K, L) + λ[Q₀ - F(K, L)]. Điều kiện cần để hàm Lagrange đạt cực trị là đạo hàm riêng theo K, L và λ phải bằng 0: 1. ∂L/∂K = ∂TC/∂K - λ∂F/∂K = 0 => ∂TC/∂K / ∂F/∂K = λ 2. ∂L/∂L = ∂TC/∂L - λ∂F/∂L = 0 => ∂TC/∂L / ∂F/∂L = λ Từ (1) và (2) => ∂TC/∂K / ∂F/∂K = ∂TC/∂L / ∂F/∂L => (∂TC/∂K) / (∂TC/∂L) = (∂F/∂K) / (∂F/∂L) Trong đó: - ∂TC/∂K = 5 (Đạo hàm của TC = 5K + 4L theo K) - ∂TC/∂L = 4 (Đạo hàm của TC = 5K + 4L theo L) Vậy (∂TC/∂K) / (∂TC/∂L) = 5/4. Do đó, điều kiện cần là: (∂F/∂K) / (∂F/∂L) = 5/4. So sánh với các đáp án, không có đáp án nào thỏa mãn điều kiện này.

Phần tử a_{12} trong ma trận hệ số chi phí trực tiếp biểu thị lượng giá trị sản phẩm của ngành 1 cần thiết để sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành 2. Trong trường hợp này, a_{12} = 0,15, có nghĩa là để sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành 2, ngành 1 phải cung cấp trực tiếp một giá trị sản lượng là 0,15.

Để giải bài toán này, ta sử dụng mô hình Leontief (Input-Output). Công thức tính tổng sản lượng X là: X = (I - A)^(-1) * Y, trong đó: * I là ma trận đơn vị. * A là ma trận hệ số chi phí trực tiếp. * Y là vector nhu cầu cuối cùng. Trong bài toán này: * A = [[0.2, 0.3], [0.4, 0.1]] * Y = [[10], [10]] Bước 1: Tính (I - A): I - A = [[1, 0], [0, 1]] - [[0.2, 0.3], [0.4, 0.1]] I - A = [[0.8, -0.3], [-0.4, 0.9]] Bước 2: Tính ma trận nghịch đảo (I - A)^(-1): (I - A)^(-1) = 1 / (0.8*0.9 - (-0.3)*(-0.4)) * [[0.9, 0.3], [0.4, 0.8]] (I - A)^(-1) = 1 / (0.72 - 0.12) * [[0.9, 0.3], [0.4, 0.8]] (I - A)^(-1) = 1 / 0.6 * [[0.9, 0.3], [0.4, 0.8]] (I - A)^(-1) = [[1.5, 0.5], [0.6667, 1.3333]] Bước 3: Tính X = (I - A)^(-1) * Y X = [[1.5, 0.5], [0.6667, 1.3333]] * [[10], [10]] X = [[1.5 * 10 + 0.5 * 10], [0.6667 * 10 + 1.3333 * 10]] X = [[15 + 5], [6.667 + 13.333]] X = [[20], [20]] Vậy, X = (20; 20). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp. Có lẽ, trong quá trình tính toán, có sai số làm tròn hoặc đề bài có sự nhầm lẫn. Nếu theo quy trình giải, đáp án gần đúng nhất có thể là D. X = (30; 20) nhưng không có cơ sở chắc chắn. **Kết luận:** Không có đáp án chính xác hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho.

Để tìm vector nhu cầu cuối cùng, ta sử dụng công thức: Nhu cầu cuối = Tổng cầu - (Ma trận hệ số chi phí trực tiếp * Tổng cầu). Trong trường hợp này, ta có: Tổng cầu X = (200; 400) Ma trận hệ số chi phí trực tiếp A = [[0.4, 0.2],[0.1, 0.2]] Khi đó, nhu cầu cuối cùng Y = X - A * X. Ta thực hiện phép tính: AX = [[0.4, 0.2],[0.1, 0.2]] * [200, 400] = [0.4*200 + 0.2*400, 0.1*200 + 0.2*400] = [80+80, 20+80] = [160, 100] Vậy Y = X - AX = [200, 400] - [160, 100] = [200-160, 400-100] = [40, 300] Vì không có đáp án nào trùng với kết quả [40, 300], đáp án đúng là: D. Tất cả các đáp án khác đều sai.

Để giải bài này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tính ma trận (E - A):** * E là ma trận đơn vị cấp 2: `[[1, 0], [0, 1]]` * A là ma trận hệ số chi phí trực tiếp đã cho: `[[0.2, 0.2], [0.3, 0.1]]` * (E - A) = `[[1-0.2, 0-0.2], [0-0.3, 1-0.1]]` = `[[0.8, -0.2], [-0.3, 0.9]]` 2. **Tính ma trận nghịch đảo C = (E - A)^(-1):** * Cho ma trận 2x2 `[[a, b], [c, d]]`, ma trận nghịch đảo là `(1/(ad - bc)) * [[d, -b], [-c, a]]` * Trong trường hợp này, a = 0.8, b = -0.2, c = -0.3, d = 0.9 * det(E - A) = (0.8 * 0.9) - (-0.2 * -0.3) = 0.72 - 0.06 = 0.66 * C = (1/0.66) * `[[0.9, 0.2], [0.3, 0.8]]` = `[[0.9/0.66, 0.2/0.66], [0.3/0.66, 0.8/0.66]]` 3. **Xác định c21:** * c21 là phần tử ở hàng 2, cột 1 của ma trận C. * c21 = 0.3 / 0.66 ≈ 0.4545 Giá trị này gần nhất với phương án C. c21 = 0, 456