Giải phương trình \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = 0\) trong C, biết z = i là một nghiệm:

\({z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\)

\({z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm 3i}}{2}\)

\({z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\)

\({z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = - 1 \pm i\sqrt 7 \)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Vì z = i là một nghiệm của phương trình nên z = -i cũng là một nghiệm. Do đó, \((z - i)(z + i) = {z^2} + 1\) là một nhân tử của đa thức \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2\). Ta thực hiện phép chia đa thức, ta được: \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = ({z^2} + 1)({z^2} + z + 2)\). Bây giờ, ta giải phương trình \({z^2} + z + 2 = 0\). Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.2 = - 7\). Vậy \(\sqrt \Delta = \pm i\sqrt 7 \). Suy ra, nghiệm của phương trình là \({z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\). Vậy phương trình có 4 nghiệm là \(z = \pm i;z = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Tính \(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right)\)
\((1-i)^9 = (\sqrt{2})^9 \left( \cos{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 16 - 16i\)
Vậy
\(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}} = \frac{16-16i}{3+i} = \frac{(16-16i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{48 - 16i - 48i - 16}{9+1} = \frac{32 - 64i}{10} = \frac{16}{5} - \frac{32}{5}i\)

Câu 7:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm argument \(\varphi\) của số phức \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}\) ta thực hiện như sau: 1. **Chuyển đổi số phức về dạng lượng giác:** - \(1 + i\sqrt 3 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))\) - \(-1 + i = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))\) 2. **Áp dụng công thức De Moivre:** - \({(1 + i\sqrt 3 )^{10}} = {2^{10}}(\cos(\frac{{10\pi}}{3}) + i\sin(\frac{{10\pi}}{3}))\) = \({2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))\) 3. **Chia hai số phức:** - \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}} = \frac{{{2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))}}{{\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))}} = \frac{{{2^{10}}}}{{\sqrt{2}}}(\cos(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}))\) - \(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{{16\pi - 9\pi}}{{12}} = \frac{{7\pi}}{{12}}\) Vậy, \(\varphi = \frac{{7\pi}}{{12}}\)

Câu 8:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để \({( - 1 + i\sqrt 3 )^n}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \[ - 1 + i\sqrt 3 = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) \] Vậy \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} = {2^n}(\cos{\frac{2n\pi}{3}} + i\sin{\frac{2n\pi}{3}})\] Để \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} \in \mathbb{R}\] thì \[\sin{\frac{2n\pi}{3}} = 0 \Rightarrow \frac{2n}{3} = k \Rightarrow n = \frac{3k}{2}\] với k là số nguyên. Do n nguyên dương nhỏ nhất nên k=2 suy ra n=3. Khi đó \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^3} = {2^3}(\cos{2\pi} + i\sin{2\pi}) = 8 \in \mathbb{R}\]

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức \({e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi );\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Số phức \(z = {e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) có môđun là \(|z| = {e^4}\), vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường tròn tâm O, bán kính \({e^4}\). Vì \(\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\varphi \) chỉ quét nửa đường tròn.

Câu 10:

Nghiệm của phương trình \(z^3 =1\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Phương trình z^3 = 1 có thể viết lại thành z^3 - 1 = 0. Phân tích thành nhân tử, ta có (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0. Vậy, z = 1 là một nghiệm. Giải phương trình bậc hai z^2 + z + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, với a = 1, b = 1, và c = 1. Tính delta: Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3. Vậy, z = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2 = -1/2 ± (√3 / 2)i. Vậy, nghiệm của phương trình là z = 1, z = -1/2 + (√3 / 2)i, và z = -1/2 - (√3 / 2)i.

Câu 11:

Tính modun của số phức: \(z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}\)

Lời giải: