Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Biết \({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&0\\ 0&b \end{array}} \right]^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^n}}&0\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right](n \in {N^ + })\). Tính A3?

Câu 13:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 2x3, ma trận B có kích thước 3x3. Vì số cột của A bằng số hàng của B nên tích AB xác định và có kích thước 2x3. Ta có: AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*1 + 2*0 + 3*4 & 1*0 + 2*0 + 3*0 \\ 2*1 + 0*2 + 4*3 & 2*1 + 0*0 + 4*4 & 2*0 + 0*0 + 4*0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 + 4 + 9 & 1 + 0 + 12 & 0 + 0 + 0 \\ 2 + 0 + 12 & 2 + 0 + 16 & 0 + 0 + 0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 14 & 13 & 0 \\ 14 & 18 & 0 \end{array}} \right]\) Vậy đáp án đúng là AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{13}&0\\ {14}&{18}&0 \end{array}} \right]\).

Câu 14:

Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 15:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,0,1,1)^T.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1,0,1,1)^T. Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) và \(n=4\). Vậy \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = -i\). Ma trận Fourier \(F_4\) có dạng: \(F_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & z^2 & z^4 & z^6 \\ 1 & z^3 & z^6 & z^9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}\) Khi đó, \(F_4 . X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+1+1 \\ 1+0-1+i \\ 1+0+1-1 \\ 1+0-1-i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ i \\ 1 \\ -i \end{bmatrix}\) Vậy biến đổi Fourier của vector X là (3, i, 1, -i)^T.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(r({A^n}) = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có ma trận A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Nhận thấy rằng hàng 1 và hàng 3 của ma trận A giống nhau. Điều này có nghĩa là det(A) = 0, và A là một ma trận suy biến. Tính \(A^2\) = A.A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { 4-3-2}&{-2+2+1}&{-2+2+1}\\ { 6-3-4}&{-3+2+2}&{-3+2+2}\\ { 4-3-2}&{-2+2+1}&{-2+2+1} \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&1&1\\ {-1}&1&1\\ {-1}&1&1 \end{array}} \right]\) Tính \(A^3 = A^2 . A\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&1&1\\ {-1}&1&1\\ {-1}&1&1 \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1}\\ {2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1}\\ {2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1} \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-3}&1&2\\ {-3}&1&2\\ {-3}&1&2 \end{array}} \right]\) Nhận thấy rằng \(rank(A^3) = 1\). Tính \(A^4\) = \(A^3. A\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-3}&1&2\\ {-3}&1&2\\ {-3}&1&2 \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\ {6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\ {6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2} \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&0&1\\ {-1}&0&1\\ {-1}&0&1 \end{array}} \right]\) Tuy nhiên, không có số tự nhiên n nào để r(A^n) = 0, vì vậy các câu trên đều sai. Vì câu trả lời đúng nhất là "Các câu kia sai".

Câu 17:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right)\). Ma trận A gọi là ma trận lũy linh nếu A^k = 0. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa A^k = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right)\)
Tính \(A^2\):
\(A^2 = A.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1}\\ {6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\ {4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&0&1\\ {-1}&0&1\\ {-1}&0&1 \end{array}} \right)\)
Tính \(A^3\):
\(A^3 = A^2.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&0&1\\ {-1}&0&1\\ {-1}&0&1 \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\ {2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\ {2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0}&0&0\\ {0}&0&0\\ {0}&0&0 \end{array}} \right) = 0\)
Vậy, chỉ số của ma trận A là k = 3.

Câu 18:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ R \right]\). Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào cột thứ 3, cột 2 đã được nhân với số 2 và đổi chỗ cột 1 cho cột 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 19:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3&{ - 1}\\ 3&2&0&1\\ 1&3&{ - 1}&2\\ 4&6&3&m \end{array}} \right]\). Tính m để A khả nghịch và r(A^-1) = 3.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông A = (a_k,j) cấp n, với a_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 4.