Nghiệm của phương trình \(z^3 =1\) là:

Các câu kia sai

\(z = 1;z = \pm \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(z = 1;z = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(z = 1;z = -\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Phương trình z^3 = 1 có thể viết lại thành z^3 - 1 = 0. Phân tích thành nhân tử, ta có (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0. Vậy, z = 1 là một nghiệm. Giải phương trình bậc hai z^2 + z + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, với a = 1, b = 1, và c = 1. Tính delta: Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3. Vậy, z = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2 = -1/2 ± (√3 / 2)i. Vậy, nghiệm của phương trình là z = 1, z = -1/2 + (√3 / 2)i, và z = -1/2 - (√3 / 2)i.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Tính modun của số phức: \(z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(i^{2009} = i^{2008}.i = (i^4)^{502}.i = 1^{502}.i = i\) \(z = \frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i - 4i^2}{-i^2} = \frac{-3i + 4}{1} = 4 - 3i\) \(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

Câu 12:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Biết \({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&0\\ 0&b \end{array}} \right]^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^n}}&0\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right](n \in {N^ + })\). Tính A³?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đầu tiên, ta tính ma trận A:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\)

Tính A²:
\({A^2} = A.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\)

Tính A³:
\({A^3} = {A^2}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&{19}\\ 0&{27} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^3}}&{19}\\ 0&{{3^3}} \end{array}} \right]\)

Đáp án không có kết quả trùng khớp.

Câu 13:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 2x3, ma trận B có kích thước 3x3. Vì số cột của A bằng số hàng của B nên tích AB xác định và có kích thước 2x3. Ta có: AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*1 + 2*0 + 3*4 & 1*0 + 2*0 + 3*0 \\ 2*1 + 0*2 + 4*3 & 2*1 + 0*0 + 4*4 & 2*0 + 0*0 + 4*0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 + 4 + 9 & 1 + 0 + 12 & 0 + 0 + 0 \\ 2 + 0 + 12 & 2 + 0 + 16 & 0 + 0 + 0 \end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 14 & 13 & 0 \\ 14 & 18 & 0 \end{array}} \right]\) Vậy đáp án đúng là AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {14}&{13}&0\\ {14}&{18}&0 \end{array}} \right]\).

Câu 14:

Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 15:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,0,1,1)^T.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1,0,1,1)^T. Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) và \(n=4\). Vậy \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = -i\). Ma trận Fourier \(F_4\) có dạng: \(F_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & z^2 & z^4 & z^6 \\ 1 & z^3 & z^6 & z^9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}\) Khi đó, \(F_4 . X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+1+1 \\ 1+0-1+i \\ 1+0+1-1 \\ 1+0-1-i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ i \\ 1 \\ -i \end{bmatrix}\) Vậy biến đổi Fourier của vector X là (3, i, 1, -i)^T.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(r({A^n}) = 0\)

Lời giải: