Cho cơ cấu như hình bên dưới có số khớp là:

Để xác định bậc tự do của cơ cấu, ta sử dụng công thức Gruebler cho cơ cấu phẳng:
f = 3n - 2p₁ - p₂
Trong đó:
n: số khâu động (không tính giá cố định)
p₁: số khớp động bậc 1
p₂: số khớp động bậc 2

Trong cơ cấu này:
n = 6 (các khâu 2, 3, 4, 5, 6, 7)
p₁ = 7 (A, B, C, D, E, F, G)
p₂ = 0

Vậy, bậc tự do của cơ cấu là:
f = 3 * 6 - 2 * 7 - 0 = 18 - 14 = 4

Vậy đáp án đúng là B.

Để xác định bậc tự do của hệ bánh răng, ta áp dụng công thức Gruebler cho cơ cấu phẳng:

$$DOF = 3(n - 1) - 2j_1 - j_2$$

Trong đó:

• n là số khâu động (không tính giá cố định).

• $j_1$ là số khớp bản lề (khớp loại 5).

• $j_2$ là số khớp trượt (khớp loại 4).

Trong hình vẽ:

• Số khâu động: 5 (5 bánh răng)

• Số khớp bản lề (loại 5): 6 (tại các trục của bánh răng)

• Số khớp trượt (loại 4): 0

Vậy:

$$DOF = 3(5 - 1) - 2(6) - 0 = 12 - 12 = 0$$

Tuy nhiên, vì đây là hệ bánh răng, mỗi cặp bánh răng ăn khớp làm giảm 1 bậc tự do. Có 4 cặp bánh răng ăn khớp, mỗi cặp bánh răng có một ràng buộc về tỷ số truyền (ω1/ω2 = d2/d1), do đó hệ có thêm 4 bậc tự do. Vậy bậc tự do của hệ là:

$$DOF = 1$$

Nhưng kết quả này không khớp với các đáp án. Xét trường hợp hệ bánh răng vi sai có 3 bậc tự do:

Ở đây, đầu vào là 2 chuyển động quay (một cho vành răng và một cho bánh răng mặt trời) và đầu ra là chuyển động quay của cần dẫn.

Trở lại bài toán, nếu ta coi các bánh răng được gắn với nhau bởi các trục và các bánh răng ngoài cùng liên kết với các trục quay thì bậc tự do là 4. Cụ thể:

• Bánh răng 1 có một bậc tự do (quay quanh trục của nó).

• Bánh răng 2 có một bậc tự do (quay quanh trục của nó).

• Bánh răng 3 có một bậc tự do (quay quanh trục của nó).

• Bánh răng 4 có một bậc tự do (quay quanh trục của nó).

• Bánh răng 5 có một bậc tự do (quay quanh trục của nó).

Tuy nhiên, các bánh răng ăn khớp làm giảm bậc tự do, mỗi cặp bánh răng ăn khớp làm giảm 1 bậc tự do. Có 4 cặp bánh răng ăn khớp, do đó:

$$DOF = 5 - 4 = 1$$

Đáp án gần đúng nhất là B. Tuy nhiên, phân tích này vẫn chưa hoàn toàn chính xác vì nó không xem xét đến vị trí cụ thể và ràng buộc của các bánh răng.