Câu hỏi:

Đường thẳng $\Delta$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-2; 1; 2)$ và đi qua điểm $A(1; 0; 1)$.
Đường thẳng $\Delta'$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u'} = (7; -2; -5)$.
Vì $\Delta'$ là hình chiếu của $\Delta$ trên $(P)$ nên $\overrightarrow{u'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{u}$ trên $(P)$.
Gọi $\overrightarrow{n} = (a; b; c)$ là vector pháp tuyến của $(P)$. Vì $M(1; 1; 0) \in (P)$ nên $(P)$ có dạng $a(x-1) + b(y-1) + cz = 0$.
Vì $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{u'}$ (do $\overrightarrow{u'}$ nằm trên $(P)$) nên $7a - 2b - 5c = 0$. (1)
Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$. Khi đó $\overrightarrow{AA'} = t\overrightarrow{n}$ hay $A' = (1+at; at; 1+ct)$.
Vì $A' \in (P)$ nên $a(1+at-1) + b(at-1) + c(1+ct) = 0 \Leftrightarrow a^2t + abt - b + c + c^2t = 0 \Leftrightarrow t(a^2 + c^2 + ab) = b - c$.
Mặt khác $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'} = (-9; 3; 7)$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$.
Suy ra $\dfrac{a}{-9} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{7} \Leftrightarrow a = -3b; c = \dfrac{-7b}{3}$. Thay vào (1) ta có:
$7(-3b) - 2b - 5(\dfrac{-7b}{3}) = 0 \Leftrightarrow -21b - 2b + \dfrac{35b}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{-63b - 6b + 35b}{3} = 0 \Leftrightarrow -34b = 0 \Leftrightarrow b = 0$.
$\Rightarrow a = 0; c = 0$, vô lý.
Ta có $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'})$ và $\overrightarrow{u'}$.
$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'} = (-2 - 7; 1 - (-2); 2 - (-5)) = (-9; 3; 7)$.
$\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{u'} , (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'}) ] = ((-2).7 - (-5).3; -5.(-9) - 7.7; 7.3 - (-2).(-9)) = (1; -4; 3) \parallel (1; 2; 1)$.
Hoặc $\overrightarrow{n} = [(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{u'}), \overrightarrow{u'}] = (3.(-5) - 7.(-2); 7.7 - (-9).(-5); -9.(-2) - 3.7) = (-1; 4; -3)$.
Vậy $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$.