Bài toán về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 21:

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y \ge 2\\2x + y \le - 1\end{array} \right.$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để kiểm tra điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta thay tọa độ của từng điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem có thỏa mãn cả hai bất phương trình không.

A. M(0; 1):
- -0 + 2(1) = 2 ≥ 2 (Đúng)
- 2(0) + 1 = 1 ≤ -1 (Sai)
=> M không thuộc miền nghiệm.
B. N(-1; 1):
- -(-1) + 2(1) = 3 ≥ 2 (Đúng)
- 2(-1) + 1 = -1 ≤ -1 (Đúng)
=> N thuộc miền nghiệm.
C. P(-1; 4):
- -(-1) + 2(4) = 9 ≥ 2 (Đúng)
- 2(-1) + 4 = 2 ≤ -1 (Sai)
=> P không thuộc miền nghiệm.
D. Q(1; 3):
- -1 + 2(3) = 5 ≥ 2 (Đúng)
- 2(1) + 3 = 5 ≤ -1 (Sai)
=> Q không thuộc miền nghiệm.

Vậy, điểm N(-1; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Câu 22:

Miền nghiệm của bất phương trình x + y < 1 là miền không bị gạch trong hình vẽ nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để tìm miền nghiệm của bất phương trình $x + y < 1$, ta thực hiện các bước sau:

Vẽ đường thẳng $x + y = 1$. Đây là một đường thẳng đi qua hai điểm $(1, 0)$ và $(0, 1)$.
Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng, ví dụ $(0, 0)$, và thay vào bất phương trình: $0 + 0 < 1$, điều này đúng.
Vậy, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0, 0)$, tức là phía dưới đường thẳng $x + y = 1$. Vì bất phương trình là $x + y < 1$ (không có dấu bằng), đường thẳng $x + y = 1$ là đường nét đứt.

Vậy đáp án đúng là hình vẽ mà nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $x + y = 1$ (đường nét đứt) không bị gạch.

Câu 23:

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y > - 2\\x + 2y \le 1\end{array} \right.$. Và các điểm sau: M(–1 ; 2), N(0; –1), O(0; 0). Có mấy điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để xác định điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta thay tọa độ của từng điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra:

Điểm M(-1; 2):
- -3(-1) + 2 > -2 <=> 3 + 2 > -2 <=> 5 > -2 (Đúng)
- -1 + 2(2) ≤ 1 <=> -1 + 4 ≤ 1 <=> 3 ≤ 1 (Sai)
Vì điểm M không thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên M không thuộc miền nghiệm.
Điểm N(0; -1):
- -3(0) + (-1) > -2 <=> -1 > -2 (Đúng)
- 0 + 2(-1) ≤ 1 <=> -2 ≤ 1 (Đúng)
Vì điểm N thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên N thuộc miền nghiệm.
Điểm O(0; 0):
- -3(0) + 0 > -2 <=> 0 > -2 (Đúng)
- 0 + 2(0) ≤ 1 <=> 0 ≤ 1 (Đúng)
Vì điểm O thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên O thuộc miền nghiệm.

Vậy, có 2 điểm thuộc miền nghiệm là N và O.

Câu 24:

Biểu thức F = 2x + y đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y \le 2}\\{x - 2y \le 2}\\{y \ge 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] tại điểm có toạ độ là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $F = 2x + y$ với điều kiện đã cho, ta cần tìm các điểm cực trị của miền nghiệm và tính giá trị của $F$ tại các điểm đó.
Miền nghiệm được xác định bởi hệ bất phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y \le 2}\\{x - 2y \le 2}\\{y \ge 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.$
Các điểm cực trị của miền nghiệm thường là giao điểm của các đường thẳng:
$2x - y = 2$
$x - 2y = 2$
$x = 0$
$y = 0$
Ta xét các giao điểm:

Giao điểm của $x=0$ và $y=0$ là $(0, 0)$. Khi đó $F = 2(0) + 0 = 0$.
Giao điểm của $2x - y = 2$ và $x = 0$ là $(0, -2)$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.
Giao điểm của $x - 2y = 2$ và $y = 0$ là $(2, 0)$. Khi đó $F = 2(2) + 0 = 4$.
Giao điểm của $2x - y = 2$ và $x - 2y = 2$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 2}\\{x - 2y = 2}\end{array}} \right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được $2x - 4y = 4$. Trừ phương trình này cho phương trình thứ nhất, ta được $3y = -2$, suy ra $y = -\frac{2}{3}$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.
Giao điểm của $2x - y = 2$ và $y = 0$ là $(1, 0)$. Khi đó $F = 2(1) + 0 = 2$.
Giao điểm của $x - 2y = 2$ và $x = 0$ là $(0, -1)$. Điểm này không thỏa mãn $y \ge 0$.

Trong các điểm thỏa mãn điều kiện $x \ge 0$ và $y \ge 0$, ta có các điểm $(0, 0)$ và $(2, 0)$ và $(1,0)$.
Giá trị của $F$ tại các điểm này là: $F(0, 0) = 0$, $F(2, 0) = 4$, $F(1,0)=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $F$ là 0, đạt được tại điểm $(0, 0)$.

Câu 25:

Cho hai điểm M(1; 0) và N(–2; –1) và hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x \le 1\\2x + 5y < 3\end{array} \right.\]. Trong hai điểm M và N, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để xác định điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta thay tọa độ của từng điểm vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem có thỏa mãn cả hai bất phương trình không.
* **Điểm M(1; 0):**

$2(1) \le 1$ tức là $2 \le 1$ (sai)
$2(1) + 5(0) < 3$ tức là $2 < 3$ (đúng)

Vì M không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất, nên M không thuộc miền nghiệm.
* **Điểm N(-2; -1):**

$2(-2) \le 1$ tức là $-4 \le 1$ (đúng)
$2(-2) + 5(-1) < 3$ tức là $-4 - 5 < 3$ hay $-9 < 3$ (đúng)

Vì N thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên N thuộc miền nghiệm.
Vậy, điểm M không thuộc miền nghiệm còn N thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

Câu 26:

Cho hai bất phương trình 2x + y < 3 (1) và – x + 3y > 5 (2) và điểm A(0; 1). Kết luận nào sau đây là đúng?

Lời giải: