Câu hỏi:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln x - x$.

a) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $\mathbb{R}$.

b) Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1$.

c) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

d) Hàm số $g\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

a) Hàm số $f(x) = \ln x - x$ có tập xác định là $x > 0$ hay $(0; +\infty)$. Vậy a) Sai.
b) $f'(x) = (\ln x)' - (x)' = \frac{1}{x} - 1$. Vậy b) Đúng.
c) $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 < 0$ với $x > 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1; +\infty)$. Vậy c) Sai.
d) $g(x) = e^{f(x)} = e^{\ln x - x}$.
$g'(x) = e^{\ln x - x} (\frac{1}{x} - 1)$. Vì $x > 1$ nên $\frac{1}{x} - 1 < 0$. Vậy $g'(x) < 0$ với $x > 1$. Vậy d) Đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề ôn luyện Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Đề 1

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu.

b) $f\left( 5 \right) = 52$.

c) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d$ bằng $\frac{2}{5}$.

d) Hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)$ đạt cực tiểu tại $x = - 1$.

Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu. (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Quan sát đồ thị, ta thấy:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục $Oy$, do đó có hai cực trị trái dấu. Vậy phát biểu a) đúng.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; 0), (1; -1), (-1; 1)$. Thay vào phương trình hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta có:
$\begin{cases} d = 0 \\ a + b + c + d = -1 \\ -a + b - c + d = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} d = 0 \\ b = 0 \\ a + c = -1 \end{cases}$
Phương trình hàm số trở thành: $y = ax^3 + cx = ax^3 + (-1 - a)x$.
Suy ra $y' = 3ax^2 + c = 3ax^2 - 1 - a$.
Cho $y' = 0$, ta có $3ax^2 = 1 + a \Rightarrow x^2 = \frac{1 + a}{3a}$.
Do $x = \pm 1$ là các điểm cực trị, nên $1 = \frac{1 + a}{3a} \Rightarrow 3a = 1 + a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
Vậy $c = -1 - a = -\frac{3}{2}$.
Hàm số là $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$.
$f(5) = \frac{1}{2}(5^3) - \frac{3}{2}(5) = \frac{125}{2} - \frac{15}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Vậy phát biểu b) sai.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$ là $y = -\frac{3}{2}x$.
Vậy đường thẳng $d$ là $y = -\frac{3}{2}x \Leftrightarrow 3x + 2y = 0$.
Khoảng cách từ điểm $O(0; 0)$ đến đường thẳng $d$ là $d(O, d) = \frac{|3(0) + 2(0)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = 0$. Vậy phát biểu c) sai.
$g(x) = f(x) - (3x - 2x^3) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x - 3x + 2x^3 = \frac{5}{2}x^3 - \frac{9}{2}x$.
$g'(x) = \frac{15}{2}x^2 - \frac{9}{2}$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{15}{2}x^2 = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x^2 = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
$g''(x) = 15x$.
$g''(-1) = -15 < 0$. Vậy $x = -1$ là điểm cực đại của hàm số $g(x)$. Vậy phát biểu d) sai.

Do đó đáp án đúng là đáp án c).

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

b) Tiệm cận đứng của đồ thị $\left( C \right)$ là $x = - 1$.

c) Tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$ là $y = x$.

d) Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $\left( C \right)$. Khi đó diện tích tam giác $OAB$ bằng $12$.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét từng mệnh đề:

a) Hàm số $y = \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}}$ xác định khi $x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Mệnh đề a) đúng.

b) $\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = +\infty $ và $\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = - \infty $. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề b) đúng.

c) Ta có $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{9x + 10}}{{x + 1}} = 9 \neq 0$. Vậy $y=x$ không là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Do đó mệnh đề c) sai.

d) Ta có $y' = \frac{{2x + 10\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 10} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$. $y'=0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \ x = - 2\end{array} \right.$. Với $x=0$ ta có $y=10$. Với $x=-2$ ta có $y=-2$. Vậy $A\left( {0;10} \right)$ và $B\left( { - 2; - 2} \right)$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \frac{1}{2}\left| {0\left( {10 + 2} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2 - 0} \right) + 0\left( {0 - 10} \right)} \right| = \frac{1}{2}.4 = 2 \neq 12$. Mệnh đề d) sai.

Vậy mệnh đề c) sai.

Câu 16:

Kinzhal là tên lửa siêu thanh có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ thống phóng mặt đất. Giả sử rằng Kinzhal (không gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phương trình \[s\left( t \right) = 1960t - 49{t^2}\] trong đó \[t\] là thời gian (\[t > 0\], đơn vị giây) và \[s\left( t \right)\] là khoảng cách của tên lửa so với mặt đất được tính bằng kilômet.

a) Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm \[t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\] là \[s = 5\,008\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\]

b) Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận tốc bằng $0$ là $19\,600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

c) Vận tốc tức thời của tên lửa tại thời điểm \[t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\] là \[5\,008,8\,\,\left( {{\rm{km/s}}} \right)\]

d) Quãng đường lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là \[19\,600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\]

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta cần kiểm tra từng đáp án:

a) Tại $t=2$, $s(2) = 1960(2) - 49(2^2) = 3920 - 196 = 3724$ km. Vậy a) sai.

b) Vận tốc $v(t) = s'(t) = 1960 - 98t$. Vận tốc bằng 0 khi $1960 - 98t = 0 \Rightarrow t = \frac{1960}{98} = 20$ giây. Khi đó $s(20) = 1960(20) - 49(20^2) = 39200 - 19600 = 19600$ km. Vậy b) đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét xem phát biểu có đúng hay không. Do đó b) sai vì phát biểu đưa ra là sai.

c) Tại $t=2$, $v(2) = 1960 - 98(2) = 1960 - 196 = 1764$ km/s. Vậy c) sai.

d) Quãng đường lớn nhất đạt được là $19600$ km (tính ở câu b). Vậy d) đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét xem phát biểu có đúng hay không. Do đó d) sai vì phát biểu đưa ra là sai.

Tất cả các đáp án đều sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \,\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[g\left( x \right)\, = \,f\left( {3 - x} \right)\] có bao nhiêu điểm cực đại?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

$g'(x) = -f'(3 - x) = -( (3 - x)^2 - 1)(3 - x - 4) = -((3-x)^2 - 1)(-1-x) = ((3-x)^2 - 1)(x+1)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} (3-x)^2 - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (3-x) = 1 \\ (3-x) = -1 \\ x = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x = 4 \\ x = -1 \end{cases}$

Xét dấu $g'(x)$:

$g'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$

$g'(x) < 0$ khi $x \in (-1; 2) \cup (4; +\infty)$

Vậy hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực tiểu là $x = -1$ và $x = 4$, và 1 điểm cực đại là $x = 2$.
Số điểm cực đại của hàm số $g(x)$ là 1.

Câu 18:

Người ta thống kê được chi phí sửa chữa, vận hành máy móc trong một năm của một xưởng sản xuất được tính bởi công thức $f\left( x \right) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}$(triệu đồng). Biết $x$ là số năm kể từ lúc máy móc vận hành lần đầu tiên, số năm càng nhiều thì chi phí càng cao. Khi số năm $x$ đủ lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm gần với số nào? (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta cần tìm giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng.

$f(x) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x(2000 - \frac{1500}{x})}}{{x(35 + \frac{5}{x})}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000 - \frac{1500}{x}}}{{35 + \frac{5}{x}}} = \frac{2000}{35} = \frac{400}{7} \approx 57.14$

Làm tròn đến 1 chữ số thập phân, ta được 57.1.

Câu 19:

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $100\,{\rm{km}}$. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là $30\,{\rm{km/h}}$. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $3$ giờ.

Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. Sau khi khảo sát địa hình nhà địa chất phát hiện ra một con đường song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $15\,{\rm{km}}$. Trên con đường đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc $50\,{\rm{km/h}}$. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút?

Lời giải: