Câu hỏi:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
|
a) Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu. b) \(f\left( 5 \right) = 52\). c) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{2}{5}\). d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = - 1\). |
|
Trả lời:
Đáp án đúng:
Quan sát đồ thị, ta thấy:
- Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục $Oy$, do đó có hai cực trị trái dấu. Vậy phát biểu a) đúng.
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; 0), (1; -1), (-1; 1)$. Thay vào phương trình hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta có:
$\begin{cases} d = 0 \\ a + b + c + d = -1 \\ -a + b - c + d = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} d = 0 \\ b = 0 \\ a + c = -1 \end{cases}$
Phương trình hàm số trở thành: $y = ax^3 + cx = ax^3 + (-1 - a)x$.
Suy ra $y' = 3ax^2 + c = 3ax^2 - 1 - a$.
Cho $y' = 0$, ta có $3ax^2 = 1 + a \Rightarrow x^2 = \frac{1 + a}{3a}$.
Do $x = \pm 1$ là các điểm cực trị, nên $1 = \frac{1 + a}{3a} \Rightarrow 3a = 1 + a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
Vậy $c = -1 - a = -\frac{3}{2}$.
Hàm số là $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$. - $f(5) = \frac{1}{2}(5^3) - \frac{3}{2}(5) = \frac{125}{2} - \frac{15}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Vậy phát biểu b) sai.
- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$ là $y = -\frac{3}{2}x$.
Vậy đường thẳng $d$ là $y = -\frac{3}{2}x \Leftrightarrow 3x + 2y = 0$.
Khoảng cách từ điểm $O(0; 0)$ đến đường thẳng $d$ là $d(O, d) = \frac{|3(0) + 2(0)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = 0$. Vậy phát biểu c) sai. - $g(x) = f(x) - (3x - 2x^3) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x - 3x + 2x^3 = \frac{5}{2}x^3 - \frac{9}{2}x$.
$g'(x) = \frac{15}{2}x^2 - \frac{9}{2}$.
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{15}{2}x^2 = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x^2 = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
$g''(x) = 15x$.
$g''(-1) = -15 < 0$. Vậy $x = -1$ là điểm cực đại của hàm số $g(x)$. Vậy phát biểu d) sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta xét từng mệnh đề:
Vậy mệnh đề c) sai.
- a) Hàm số $y = \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}}$ xác định khi $x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$. Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Mệnh đề a) đúng.
- b) $\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = +\infty $ và $\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = - \infty $. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề b) đúng.
- c) Ta có $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{9x + 10}}{{x + 1}} = 9 \neq 0$. Vậy $y=x$ không là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Do đó mệnh đề c) sai.
- d) Ta có $y' = \frac{{2x + 10\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 10x + 10} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$. $y'=0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \ x = - 2\end{array} \right.$. Với $x=0$ ta có $y=10$. Với $x=-2$ ta có $y=-2$. Vậy $A\left( {0;10} \right)$ và $B\left( { - 2; - 2} \right)$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \frac{1}{2}\left| {0\left( {10 + 2} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2 - 0} \right) + 0\left( {0 - 10} \right)} \right| = \frac{1}{2}.4 = 2 \neq 12$. Mệnh đề d) sai.
Vậy mệnh đề c) sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta cần kiểm tra từng đáp án:
Tất cả các đáp án đều sai.
- a) Tại $t=2$, $s(2) = 1960(2) - 49(2^2) = 3920 - 196 = 3724$ km. Vậy a) sai.
- b) Vận tốc $v(t) = s'(t) = 1960 - 98t$. Vận tốc bằng 0 khi $1960 - 98t = 0 \Rightarrow t = \frac{1960}{98} = 20$ giây. Khi đó $s(20) = 1960(20) - 49(20^2) = 39200 - 19600 = 19600$ km. Vậy b) đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét xem phát biểu có đúng hay không. Do đó b) sai vì phát biểu đưa ra là sai.
- c) Tại $t=2$, $v(2) = 1960 - 98(2) = 1960 - 196 = 1764$ km/s. Vậy c) sai.
- d) Quãng đường lớn nhất đạt được là $19600$ km (tính ở câu b). Vậy d) đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét xem phát biểu có đúng hay không. Do đó d) sai vì phát biểu đưa ra là sai.
Tất cả các đáp án đều sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
Xét dấu $g'(x)$:
Vậy hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực tiểu là $x = -1$ và $x = 4$, và 1 điểm cực đại là $x = 2$.
Số điểm cực đại của hàm số $g(x)$ là 1.
- $g'(x) = -f'(3 - x) = -( (3 - x)^2 - 1)(3 - x - 4) = -((3-x)^2 - 1)(-1-x) = ((3-x)^2 - 1)(x+1)$
- $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} (3-x)^2 - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (3-x) = 1 \\ (3-x) = -1 \\ x = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x = 4 \\ x = -1 \end{cases}$
Xét dấu $g'(x)$:
- $g'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$
- $g'(x) < 0$ khi $x \in (-1; 2) \cup (4; +\infty)$
Vậy hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực tiểu là $x = -1$ và $x = 4$, và 1 điểm cực đại là $x = 2$.
Số điểm cực đại của hàm số $g(x)$ là 1.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta cần tìm giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng.
$f(x) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x(2000 - \frac{1500}{x})}}{{x(35 + \frac{5}{x})}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000 - \frac{1500}{x}}}{{35 + \frac{5}{x}}} = \frac{2000}{35} = \frac{400}{7} \approx 57.14$
Làm tròn đến 1 chữ số thập phân, ta được 57.1.
$f(x) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x(2000 - \frac{1500}{x})}}{{x(35 + \frac{5}{x})}} = \lim_{x \to \infty} \frac{{2000 - \frac{1500}{x}}}{{35 + \frac{5}{x}}} = \frac{2000}{35} = \frac{400}{7} \approx 57.14$
Làm tròn đến 1 chữ số thập phân, ta được 57.1.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $C$ và $D$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ trên con đường song song kia.
$AC = BD = 15$ km.
Gọi $x$ là độ dài $CD$. Khi đó, độ dài $AD = \sqrt{15^2 + x^2}$.
Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là: $t = \frac{x}{50} + \frac{\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}{30}$.
Để tìm thời gian ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $t$. Xét đạo hàm của $t$ theo $x$:
$t'(x) = \frac{1}{50} - \frac{100-x}{30\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}$
Giải $t'(x) = 0$ ta được:
$\frac{1}{50} = \frac{100-x}{30\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}$
$3\sqrt{15^2 + (100-x)^2} = 5(100-x)$
$9(225 + 10000 - 200x + x^2) = 25(10000 - 200x + x^2)$
$2025 + 90000 - 1800x + 9x^2 = 250000 - 5000x + 25x^2$
$16x^2 - 3200x + 157975 = 0$
$\Delta' = 1600^2 - 16*157975 = 2560000 - 2527600 = 32400 = 180^2$
$x = \frac{1600 \pm 180}{16}$
$x_1 = \frac{1780}{16} = 111.25$
$x_2 = \frac{1420}{16} = 88.75$
Vì $x \le 100$, nên $x = 88.75$ km.
$t = \frac{88.75}{50} + \frac{\sqrt{15^2 + (100-88.75)^2}}{30} = 1.775 + \frac{\sqrt{225 + 126.5625}}{30} = 1.775 + \frac{\sqrt{351.5625}}{30} = 1.775 + \frac{18.75}{30} = 1.775 + 0.625 = 2.4$ giờ.
$2.4$ giờ = $2.4 * 60 = 144$ phút.
$AC = BD = 15$ km.
Gọi $x$ là độ dài $CD$. Khi đó, độ dài $AD = \sqrt{15^2 + x^2}$.
Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là: $t = \frac{x}{50} + \frac{\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}{30}$.
Để tìm thời gian ngắn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $t$. Xét đạo hàm của $t$ theo $x$:
$t'(x) = \frac{1}{50} - \frac{100-x}{30\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}$
Giải $t'(x) = 0$ ta được:
$\frac{1}{50} = \frac{100-x}{30\sqrt{15^2 + (100-x)^2}}$
$3\sqrt{15^2 + (100-x)^2} = 5(100-x)$
$9(225 + 10000 - 200x + x^2) = 25(10000 - 200x + x^2)$
$2025 + 90000 - 1800x + 9x^2 = 250000 - 5000x + 25x^2$
$16x^2 - 3200x + 157975 = 0$
$\Delta' = 1600^2 - 16*157975 = 2560000 - 2527600 = 32400 = 180^2$
$x = \frac{1600 \pm 180}{16}$
$x_1 = \frac{1780}{16} = 111.25$
$x_2 = \frac{1420}{16} = 88.75$
Vì $x \le 100$, nên $x = 88.75$ km.
$t = \frac{88.75}{50} + \frac{\sqrt{15^2 + (100-88.75)^2}}{30} = 1.775 + \frac{\sqrt{225 + 126.5625}}{30} = 1.775 + \frac{\sqrt{351.5625}}{30} = 1.775 + \frac{18.75}{30} = 1.775 + 0.625 = 2.4$ giờ.
$2.4$ giờ = $2.4 * 60 = 144$ phút.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
