Câu hỏi:

Gọi $S_0$ là diện tích hình vuông ban đầu, $S_1$ là diện tích hình vuông thứ nhất sau khi vẽ, $S_2, S_3, ...$ là diện tích các hình vuông tiếp theo.\nTa có $S_0 = 4^2 = 16 \text{ m}^2$.\nSau mỗi lần vẽ, diện tích hình vuông mới bằng một nửa diện tích hình vuông trước đó. Vậy, $S_n = \dfrac{S_{n-1}}{2}$.\nDiện tích các tam giác được tô màu ở bước thứ $n$ là $T_n = \dfrac{1}{2}S_n$.\nTổng diện tích các tam giác được tô màu sau 10 lần lặp lại là:\n$S = T_0 + T_1 + T_2 + ... + T_{10} = \dfrac{S_0}{2} + \dfrac{S_1}{2} + \dfrac{S_2}{2} + ... + \dfrac{S_{10}}{2} = \dfrac{1}{2} (S_0 + S_1 + S_2 + ... + S_{10})$\n$S = \dfrac{1}{2} \left(16 + \dfrac{16}{2} + \dfrac{16}{4} + ... + \dfrac{16}{2^{10}} \right) = 8 \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^{10}} \right)$\nĐây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$.\n$S = 8 \cdot \dfrac{1 - (\dfrac{1}{2})^{11}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 8 \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{11}}}{\dfrac{1}{2}} = 16 \left(1 - \dfrac{1}{2^{11}}\right) = 16 - \dfrac{16}{2^{11}} = 16 - \dfrac{1}{2^7} = 16 - \dfrac{1}{128} = \dfrac{2048 - 1}{128} \approx 15.9921875$\nSố tiền cần trả là: $15.9921875 \times 80000 = 1279375$ đồng. Tuy nhiên do đề bài yêu cầu tô kín màu lên 2 tam giác đối diện ở bước đầu nên diện tích tô màu thực tế sẽ là:\n $S' = T_1 + T_2 + ... + T_{10} = \dfrac{S_1}{2} + \dfrac{S_2}{2} + ... + \dfrac{S_{10}}{2} = \dfrac{1}{2} (S_1 + S_2 + ... + S_{10}) = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{16}{2} + \dfrac{16}{4} + ... + \dfrac{16}{2^{10}} \right)$\n$S' = \dfrac{1}{2} \left(8 + 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{2^9} \right)= 4 \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{2^9} \right)= 4 \cdot \dfrac{1 - (\dfrac{1}{2})^{10}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 4 \cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{10}}}{\dfrac{1}{2}} = 8 \left(1 - \dfrac{1}{2^{10}}\right) = 8 - \dfrac{8}{2^{10}} = 8 - \dfrac{1}{2^7} = 8 - \dfrac{1}{128} = \dfrac{1024 - 1}{128} = \dfrac{1023}{128} \approx 7.9921875$\nVậy tổng diện tích cần sơn sẽ là diện tích hình vuông ban đầu trừ đi diện tích chưa sơn:\n$S'' = 16 - S' = 16 - \dfrac{1023}{128} = \dfrac{2048 - 1023}{128} = \dfrac{1025}{128} = 8.0078125$\nDo đó số tiền cần trả là: $8.0078125 \times 80000 = 640625$ đồng.\nTuy nhiên nếu đề bài yêu cầu tô thêm phần diện tích đã tô thì tổng diện tích sẽ là:\n$S_{total} = 16 + S' = 16 + \dfrac{1023}{128} = \dfrac{2048 + 1023}{128} = \dfrac{3071}{128} = 24.0 \text{ m}^2$.\nTổng số tiền cần trả là: $\dfrac{3071}{128} \times 80000 = 1919375$ đồng, không có trong đáp án.\nVì hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm nên diện tích tô lần thứ $i+1$ sẽ là $1/2$ lần diện tích tô lần thứ $i$, do đó số tiền cần trả là $T = 16*80000 * (1 + 1/2 + ... + 1/2^{10}) = 16*80000 * 2 = 1023/1024 = 256(1023) = 10920533$