JavaScript is required

Câu hỏi:

Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\) ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).

v (ảnh 1)

Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay một hình phẳng quanh trục Ox. Ta có chiều dài quả bóng là 28 cm, đường kính là 17 cm, suy ra bán kính $r = 8.5$ cm. Ta có hàm số $f(x) = a{x^2} + bx + c$. Vì tính đối xứng của quả bóng, ta có thể đặt gốc tọa độ tại tâm của quả bóng. Do đó, hàm số sẽ có dạng $f(x) = a{x^2} + c$. Ta có các điểm $(-14, 0)$, $(14, 0)$, $(0, 8.5)$ thuộc đồ thị hàm số. Thay các điểm này vào, ta có hệ phương trình: $\begin{cases}196a + c = 0\\c = 8.5\end{cases}$ Giải ra ta được $a = -\frac{8.5}{196} = -\frac{17}{392}$, $c = 8.5$ Vậy $f(x) = -\frac{17}{392}{x^2} + 8.5$ Thể tích của quả bóng là: $V = \pi \int_{-14}^{14} {[f(x)]^2 dx} = \pi \int_{-14}^{14} {\left( { - \frac{{17}}{{392}}{x^2} + 8.5} \right)^2 dx} $ $V = 2\pi \int_{0}^{14} {\left( {\frac{{289}}{{153664}}{x^4} - \frac{{289}}{{392}}{x^2} + 72.25} \right)dx} $ $V = 2\pi \left[ {\frac{{289}}{{768320}}{x^5} - \frac{{289}}{{1176}}{x^3} + 72.25x} \right]_0^{14} $ $V = 2\pi \left( {\frac{{289 \cdot {{14}^5}}}{{768320}} - \frac{{289 \cdot {{14}^3}}}{{1176}} + 72.25 \cdot 14} \right) \approx 4320{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan