JavaScript is required

Câu hỏi:

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\)\(B\) cách nhau \(4\,\,{\rm{km}}\). Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\)của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \(4\,\,{\rm{km}}\). Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\) đến một vị trí \(I\) nằm giữa đoạn thẳng \(MC\) sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\)\(B\) (hình vẽ).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $x = MI$ ($0 < x < 4$). Khi đó, ta có $CI = 4 - x$. Vì $I$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $IA = IB = \sqrt{AM^2 + MI^2} = \sqrt{2^2 + x^2} = \sqrt{4 + x^2}$. Tổng độ dài đường ống là $L = CI + IA + IB = 4 - x + 2\sqrt{4 + x^2}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $L$, ta xét đạo hàm: $L' = -1 + \frac{2x}{\sqrt{4 + x^2}}$. $L' = 0$ khi $-1 + \frac{2x}{\sqrt{4 + x^2}} = 0 \Rightarrow 2x = \sqrt{4 + x^2} \Rightarrow 4x^2 = 4 + x^2 \Rightarrow 3x^2 = 4 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Khi đó, $L = 4 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{4 + \frac{4}{3}} = 4 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{\frac{16}{3}} = 4 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = 4 + \frac{6\sqrt{3}}{3} = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.46$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan