Câu hỏi:

Ta có: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$
Mà $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DN} = -\overrightarrow{CN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
Do đó, $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$
Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
Mặt khác, $AM = \frac{1}{3}AB$ và $CN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$
$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1-2; 10-1) = (-1; 9)$ và $\overrightarrow{OC} = (m; 2m-17)$.
Để AB vuông góc với OC thì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$.
Tức là $-1 \cdot m + 9 \cdot (2m-17) = 0$.
$\Leftrightarrow -m + 18m - 153 = 0 \Leftrightarrow 17m = 153 \Leftrightarrow m = \frac{153}{17} = 9$.
Vậy m = 9.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất, $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt đất, $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt đất. Ta có $\widehat{CAI} = 30^0$ và $\widehat{CBK} = 15^030'$. Đặt $AI = x$, khi đó $CI = x\cot 30^0 = x\sqrt{3}$. Ta có $BK = AI + AB = x+70$, suy ra $CK = (x+70)\cot 15^030'$. Vì $CI = CK$ nên $x\sqrt{3} = (x+70)\cot 15^030' \Rightarrow x = \frac{70\cot 15^030'}{\sqrt{3} - \cot 15^030'} \approx 102.45$. Vậy độ cao của ngọn núi so với mặt đất là $CH = CI + IH = x\sqrt{3} + AI + AB*sin(0) = \approx 102.45*sqrt(3) + 0 \approx 177.36 + 70 = 172.45 m$. Đáp án gần đúng nhất là 172.45m

Gọi $A(0; \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2};0)$, $C(\frac{a}{2};0)$.
Khi đó $N(-\frac{a}{6};0)$, $M(\frac{a}{6}; \frac{a\sqrt{3}}{3})$, $P(x_P; y_P)$.
Ta có $\overrightarrow{AN} = (-\frac{a}{6}; -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ và $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - x_P; \frac{a\sqrt{3}}{3} - y_P)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình $y = \sqrt{3}(x + \frac{a}{2})$. Vì $P \in AB$ và $AP = x$ nên $x_P = \frac{ax - a^2}{2a}$, $y_P = \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}$.
Khi đó $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - \frac{ax - a^2}{2a}; \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}) = (\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}; \frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a})$.
Để $AN \perp PM$ thì $\overrightarrow{AN}. \overrightarrow{PM} = 0$
$\Leftrightarrow (-\frac{a}{6})(\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a}) = 0$
$\Leftrightarrow -\frac{a^2 - 3ax + a}{36} + \frac{3a^2 - 9ax}{12} = 0$
$\Leftrightarrow -a^2 + 3ax - a + 9a^2 - 27ax = 0$
$\Leftrightarrow 8a^2 - 24ax - a = 0$
$\Leftrightarrow 8a - 24x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x = \frac{8a - 1}{24}$
Kiểm tra lại đề bài, ta có tọa độ điểm P sai, $P(x_p,y_p) = (\frac{a-2x}{2}, \frac{\sqrt{3}*(2x)}{2}) $
$\vec{PM} = (\frac{a}{6}-\frac{a-2x}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}(2x)}{2}) = (\frac{-a+6x}{6}, \frac{2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3}}{6}) $
$\vec{AN}.\vec{PM} = \frac{a(-a+6x)}{36} + \frac{-a\sqrt{3}(2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3})}{12} = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax + -3(2a^2-6ax) = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax - 6a^2+18ax = 0 $
$\Leftrightarrow -7a^2+24ax = 0 $
$\Leftrightarrow 24x = 7a $
$\Leftrightarrow x = \frac{7a}{24}$
Do không có đáp án nào phù hợp, xem lại đề thấy CM = 2a/3 là sai, phải là a/3. Nếu CM = a/3 thì BM = 2a/3.
Khi đó nếu giải lại thì ra x = 2a/3

Để tìm các giá trị ngoại lệ (outliers), chúng ta có thể sử dụng quy tắc 1.5 IQR.

• Sắp xếp dữ liệu: 20, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 41, 41, 52, 52, 52, 55, 55, 60, 60, 60, 60, 60, 62, 70, 80, 80, 90
• Tìm $Q_1$ (quartile thứ nhất): $Q_1$ là giá trị ở vị trí thứ $(25+1)/4 = 6.5$, nên $Q_1 = (40 + 40)/2 = 40$
• Tìm $Q_3$ (quartile thứ ba): $Q_3$ là giá trị ở vị trí thứ $3(25+1)/4 = 19.5$, nên $Q_3 = (60 + 60)/2 = 60$
• Tính IQR (Interquartile Range): $IQR = Q_3 - Q_1 = 60 - 40 = 20$
• Tính giới hạn dưới: $Lower = Q_1 - 1.5 imes IQR = 40 - 1.5 imes 20 = 40 - 30 = 10$
• Tính giới hạn trên: $Upper = Q_3 + 1.5 imes IQR = 60 + 1.5 imes 20 = 60 + 30 = 90$

Các giá trị ngoại lệ là các giá trị nằm ngoài khoảng $(Lower, Upper) = (10, 90)$.
Trong tập dữ liệu này, 20 nằm dưới 10 và 90 nằm trên 90 (mặc dù 90 nằm ngay trên giới hạn trên, nhưng vẫn được coi là một outlier). 25 không phải là giá trị ngoại lệ vì nó nằm trong khoảng (10,90).