Câu hỏi:

Ta có:
$M = \sin 75^\circ + \tan 45^\circ + \cos 165^\circ$
$= \sin (45^\circ + 30^\circ) + 1 + \cos (180^\circ - 15^\circ)$
$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ + 1 - \cos 15^\circ$
$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} . \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} . \dfrac{1}{2} + 1 - \cos (45^\circ - 30^\circ)$
$= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 1 - (\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ)$
$= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 1 - (\dfrac{\sqrt{2}}{2} . \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} . \dfrac{1}{2})$
$= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 1 - \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 1$
Vậy M = 1

Hình thoi ABCD có $\angle DAB = 60^{\circ}$ nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh 2a.
Suy ra BD = 2a, AO = OC = a$\sqrt{3}$, BO = OD = a.
*Xét đáp án A: $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = 2AO = 2a\sqrt{3}$. Vậy A đúng.
*Xét đáp án D: $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = BD = 2a$. Vì $\angle ABC = 120^\circ$ nên $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = 2a\sqrt{3}$. Vậy D đúng.
*Xét đáp án C: $|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}|$. Vì OB = a và DC = 2a, OB và DC cùng phương, ngược chiều nên $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{DC}| = |-a + 2a| = a$. Vậy C sai.
*Xét đáp án B: $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|$. Ta có $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}|^2 = OB^2 + AD^2 + 2OB.AD.\cos(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AD})$. Ta thấy $\overrightarrow{OB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AD}$ do đó tích vô hướng bằng 0. $|\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AD}| = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt{5}$
Nhận thấy đáp án B sai.

Vì M là trung điểm của BC nên ta có $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$.
Khi đó, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{MA}$.
Tuy nhiên, đáp án B cho rằng $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$. Điều này chỉ đúng khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì M là trung điểm BC, ta có $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$
Vậy $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{0} = - \overrightarrow{AM}$. Do đó, đáp án B đúng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó, $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{7}{2} = 3.5$ và $OA = \frac{1}{2}AC$. Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OAB, ta có: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}$ Áp dụng định lý hàm cosin trong tam giác OBC, ta có: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos{\angle BOC}$ Vì $\angle AOB$ và $\angle BOC$ là hai góc kề bù nên $\cos{\angle AOB} = -\cos{\angle BOC}$. Đặt $OA = OC = x$. Ta có: $AB^2 + BC^2 = 2OB^2 + 2OA^2$ $4^2 + 5^2 = 2(3.5)^2 + 2x^2$ $16 + 25 = 2(12.25) + 2x^2$ $41 = 24.5 + 2x^2$ $2x^2 = 16.5$ $x^2 = 8.25$ $x = \sqrt{8.25} \approx 2.87$ Do đó, $AC = 2x = 2\sqrt{8.25} \approx 5.74$ Vậy, độ dài của AC gần nhất với giá trị 5,7.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$, ta có:
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$
Mà $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$ (do $ABCD$ là hình bình hành)
Suy ra $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.