Câu hỏi:

Gọi $x$ là khoảng cách $CD$. Thời gian để đi từ $A$ đến $B$ là:
$t = \frac{\sqrt{d^2 + x^2}}{v_1} + \frac{L-x}{v_2}$

Để $t$ min thì:
$\frac{dt}{dx} = \frac{x}{v_1\sqrt{d^2 + x^2}} - \frac{1}{v_2} = 0$

$\Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}}$

Thay $x$ vào $t$ ta được:
$t_{min} = \frac{\sqrt{d^2 + \frac{d^2}{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}}}{v_1} + \frac{L-\frac{d}{\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}}}{v_2} = \frac{d}{v_1}\sqrt{1 + \frac{1}{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}} + \frac{L}{v_2} - \frac{d}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}}$

$t_{min} = \frac{d}{v_1}\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2}}{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1} + \frac{L}{v_2} - \frac{d}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}} = \frac{d}{v_1}\frac{v_1}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}} + \frac{L}{v_2} - \frac{d}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}} = \frac{L}{v_2} + \frac{d}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}} - \frac{d}{v_2\sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2} - 1}}$

$t_{min} = \frac{L}{v_2} + \frac{d}{\sqrt{v_1^2 - v_2^2}}$

So sánh với $\frac{\sqrt{M^2+N^2}}{P}$ suy ra $N = \frac{L^2v_2^2}{v_1^2}$

Gọi phương trình parabol có dạng $y = a x^2 + b x + c$. Chọn hệ tọa độ sao cho $A(-1.5; 0), B(1.5; 0)$, và đỉnh parabol là $I(0; \frac{3}{4})$.

Khi đó:

• $y = a x^2 + b x + c$ đi qua $A(-1.5; 0)$ nên $0 = a(-1.5)^2 + b(-1.5) + c$
• $y = a x^2 + b x + c$ đi qua $B(1.5; 0)$ nên $0 = a(1.5)^2 + b(1.5) + c$
• $y = a x^2 + b x + c$ đi qua $I(0; \frac{3}{4})$ nên $\frac{3}{4} = a(0)^2 + b(0) + c$

Từ đó suy ra: $b = 0$, $c = \frac{3}{4}$, và $a = -\frac{1}{3}$. Vậy $y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{4}$.

Thể tích của khối bê tông là: $V = \int_{-1.5}^{1.5} \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{4}) dx = 2 \sqrt{3} \int_{0}^{1.5} (-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{4}) dx = 2\sqrt{3} \cdot [-\frac{1}{9}x^3 + \frac{3}{4}x]_0^{1.5} = 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{9}(1.5)^3 + \frac{3}{4}(1.5)) = 2\sqrt{3} \cdot 0.8(3) \approx 3.4 m^3$.

Gọi cạnh đáy của cabin là $x$ (mét) và chiều cao của cabin là $h$ (mét). Theo đề bài, ta có:
* $V = x^2h = 5,4$ (1)
* $S_{tp} = 2x^2 + 4xh = 18,9$ (2)
Từ (1) suy ra $h = \frac{5,4}{x^2}$. Thay vào (2) ta được:
$2x^2 + 4x(\frac{5,4}{x^2}) = 18,9 \Rightarrow 2x^2 + \frac{21,6}{x} = 18,9 \Rightarrow 2x^3 - 18,9x + 21,6 = 0$
$\Rightarrow x^3 - 9,45x + 10,8 = 0$
Nhận thấy $x=1,2$ là một nghiệm của phương trình trên (thỏa mãn điều kiện $x < 2$).
Vậy $x = 1,2$ (mét). Suy ra $h = \frac{5,4}{1,2^2} = \frac{5,4}{1,44} = 3,75$ (mét).
Vì đơn vị trên mỗi trục là 10 cm nên ta có:
Tọa độ của điểm $I$ là: $(12-1;12-1;37,5) = (11;11;37,5)$.
Vậy tổng các tọa độ của điểm $I$ là: $11 + 11 + 37,5 = 59,5$.
Do đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị, và mỗi đơn vị tương ứng 10cm, nên ta có:
$(11 + 11 + 37.5) / 2 \approx 30$ (tổng các tọa độ của điểm $I$)

Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng.

Giá của các mét khoan tiếp theo tạo thành một cấp số cộng với công sai là 30 nghìn đồng.

Vậy, tổng số tiền cần trả là:

$100 + (100+30) + (100+2*30) + ... + (100+17*30) = 100*18 + 30*(1+2+3+...+17) = 1800 + 30*\frac{17*(17+1)}{2} = 1800 + 30*\frac{17*18}{2} = 1800 + 30*17*9 = 1800 + 4590 = 6390$ nghìn đồng.

Số tiền này không khớp với bất kỳ đáp án nào được đưa ra.

Tuy nhiên, nếu đề bài là 15m thì:

$100*15 + 30*(1+2+3+...+14) = 1500 + 30*\frac{14*(14+1)}{2} = 1500 + 30*\frac{14*15}{2} = 1500 + 30*7*15 = 1500 + 3150 = 4650$ nghìn đồng.

Có lẽ có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án. Để tính toán, ta sẽ giả sử đề bài có chút sai sót và tính tổng số tiền phải trả cho 18 mét:

Số tiền phải trả là: $100 + 130 + 160 + ... + (100 + (18-1)*30)$

Đây là tổng của 18 số hạng của cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 100$ và công sai $d = 30$.

Tổng là: $S_{18} = \frac{18}{2} * (2*100 + (18-1)*30) = 9 * (200 + 17*30) = 9 * (200 + 510) = 9 * 710 = 6390$.

Nếu là 12m thì:

$S_{12} = 12/2 * (200 + 11 * 30) = 6(200 + 330) = 6*530 = 3180$\n
Nếu sửa đề thành: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau *giảm* thêm 30 nghìn đồng.
Tổng số tiền: $100 + 70 + 40 + ... + (100 - 17 * 30) = 100*18 - 30 * (1+2+...+17) = 1800 - 30 * \frac{17*18}{2} = 1800 - 4590 = -2790$
Điều này không hợp lý.
Nếu tính cho 15 mét với giá tăng, ta có: $S_{15} = \frac{15}{2}(2*100 + 14*30) = \frac{15}{2}(200 + 420) = \frac{15}{2} * 620 = 15 * 310 = 4650$
Nếu chiều sâu là 10 mét, thì:

$S_{10} = 10/2 * (2*100 + 9*30) = 5 * (200 + 270) = 5 * 470 = 2350$
Nếu đáp án là 2610, thì:

$2610 = n/2(200 + (n-1)*30)$

Với n = 12: $S_{12} = 6*(200 + 11*30) = 6*(200 + 330) = 6*530 = 3180$\nVới n = 11: $S_{11} = 11/2 (200 + 10*30) = 11/2 (500) = 11 * 250 = 2750$\nXét cấp số cộng: $u_1 = 100, d = 30$\n$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] = 2610$\n$\frac{n}{2}[200 + (n-1)30] = 2610$\n$n(200 + 30n - 30) = 5220$\n$n(170 + 30n) = 5220$\n$30n^2 + 170n - 5220 = 0$\n$3n^2 + 17n - 522 = 0$\n$n = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4*3*(-522)}}{2*3} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 6264}}{6} = \frac{-17 \pm \sqrt{6553}}{6} = \frac{-17 \pm 80.95}{6}$

$n \approx 10.66$ không phải số nguyên
Vậy không có đáp án nào đúng.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân có dạng: $u_n = u_1.q^{n-1}$.
Vậy, $u_n = 5.2^{n-1}$.