JavaScript is required

Câu hỏi:

Biết I=∫1212(1x−1x+2)dx=aln⁡2+bln⁡3I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{2}}\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x = a\ln 2+b\ln 3 với a, b∈R.a,\,b \in \mathbb{R}. Giá trị của biểu thức T=a2+b3T=a^2+b^3 bằng

A. 83.\dfrac{8}{3}.
B. 18.\dfrac{1}{8}.
C. 38.\dfrac{3}{8}.
D. 12.\dfrac{1}{2}.
Trả lời:

Đáp án đúng: C


Ta có: $I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{2}}\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int\limits_{1}^{2} \Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x $
$\quad = \dfrac{1}{2} \Big[ \ln |x| - \ln |x+2| \Big]_{1}^{2} = \dfrac{1}{2} \Big[ \ln \Big|\dfrac{x}{x+2}\Big| \Big]_{1}^{2}$
$\quad = \dfrac{1}{2} \Big( \ln \dfrac{2}{4} - \ln \dfrac{1}{3} \Big) = \dfrac{1}{2} \Big( \ln \dfrac{1}{2} - \ln \dfrac{1}{3} \Big) $
$\quad = \dfrac{1}{2} (\ln 1 - \ln 2 - \ln 1 + \ln 3) = \dfrac{1}{2} (-\ln 2 + \ln 3) = -\dfrac{1}{2} \ln 2 + \dfrac{1}{2} \ln 3$
$\Rightarrow a = -\dfrac{1}{2}, b = \dfrac{1}{2}$
Vậy $T = a^2 + b^3 = \Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2 + \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Dạng 5: Tích phân của hàm số lũy thừa; phân thức hữu tỉ

10/09/2025
0 lượt thi
0 / 10
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Cho tích phân ∫15∣x−2x+1∣dx=a+bln⁡2+cln⁡3\displaystyle \int\limits_1^5 \left| \dfrac{x-2}{x+1} \right|\mathrm{d}x = a + b\ln 2 + c\ln 3 với a, b, ca,\,b,\,c là các số nguyên. Giá trị của P=abcP = abc bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có: $\dfrac{x-2}{x+1} = 1 - \dfrac{3}{x+1}$.
Xét dấu: $x \in [1;2)$ thì $\dfrac{x-2}{x+1} < 0$; $x \in (2;5]$ thì $\dfrac{x-2}{x+1} > 0$.
Do đó:
$\displaystyle \int\limits_1^5 \left| \dfrac{x-2}{x+1} \right|\mathrm{d}x = -\int\limits_1^2 \dfrac{x-2}{x+1} dx + \int\limits_2^5 \dfrac{x-2}{x+1} dx$
$\displaystyle = -\int\limits_1^2 (1 - \dfrac{3}{x+1}) dx + \int\limits_2^5 (1 - \dfrac{3}{x+1}) dx$
$\displaystyle = -\left[ x - 3\ln|x+1| \right]_1^2 + \left[ x - 3\ln|x+1| \right]_2^5$
$\displaystyle = -\left[ (2 - 3\ln 3) - (1 - 3\ln 2) \right] + \left[ (5 - 3\ln 6) - (2 - 3\ln 3) \right]$
$\displaystyle = -1 + 3\ln 3 + 3\ln 2 + 3 - 3\ln 6$
$\displaystyle = 2 + 3\ln (\dfrac{6}{6}) = 2 + 3\ln 1 = 2$
Suy ra $a = 2, b = 0, c = 0$. Vậy $P = abc = 0$.
Câu 1:

Nếu ∫12f(x)dx=3\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3 thì ∫12[f(x)+4x3]dx\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có:
$\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} 4x^3 \mathrm{d}x$

$= 3 + x^4 \Big|_1^2 = 3 + (2^4 - 1^4) = 3 + (16 - 1) = 3 + 15 = 18$.
Câu 2:

Tích phân ∫−31(2x−5)dx\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có:
$\displaystyle\int\limits_{-3}^{1}(2x-5)\mathrm{d}x = (x^2 - 5x) \Big|_{-3}^{1} = (1^2 - 5(1)) - ((-3)^2 - 5(-3)) = (1-5) - (9+15) = -4 - 24 = -28$.
Câu 3:

Tích phân ∫02x2−2x+1dx\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có: $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$.

Do đó, $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\sqrt{x^2-2x+1}\mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x$.

Ta xét:

  • Với $0 \le x < 1$, $|x-1| = 1-x$.

  • Với $1 \le x \le 2$, $|x-1| = x-1$.

Vậy:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x-1| \mathrm{d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{1} (1-x) \mathrm{d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x-1) \mathrm{d}x$

$= (x - \dfrac{x^2}{2})\Big|_{0}^{1} + (\dfrac{x^2}{2} - x)\Big|_{1}^{2}$

$= (1 - \dfrac{1}{2}) - (0) + ((\dfrac{4}{2} - 2) - (\dfrac{1}{2} - 1))$

$= \dfrac{1}{2} + (0 - (-\dfrac{1}{2})) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1 + 1 = 2$.
Câu 4:

Tích phân ∫12(x+3)2dx\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có: $\displaystyle\int (x+3)^2 dx = \int (x^2 + 6x + 9) dx = \dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x + C$.
Vậy $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_1^2 = \left(\dfrac{8}{3} + 12 + 18\right) - \left(\dfrac{1}{3} + 3 + 9\right) = \dfrac{7}{3} + 9 + 9 = \dfrac{7}{3} + 18 = \dfrac{7+54}{3} = \dfrac{61}{3}$.
Câu 5:

Tích phân ∫021x+3dx\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{1}{x+3}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 6:

Cho ∫0m(3x2−2x+1)dx=6\displaystyle\int\limits_{0}^{m}(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x=6. Giá trị của tham số mm thuộc khoảng nào sau đây?

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 7:

Tích phân ∫aa+1x2dx\displaystyle\int\limits_{a}^{a+1}{{{x}^{2}}\mathrm{d}x} với a∈Ra\in \mathbb{R} có giá trị bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 8:

Tích phân I=∫121x+1−xdxI=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\mathrm{d}x bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT GD KT&PL Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1137 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu953 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu1057 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu443 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

111 tài liệu535 lượt tải
50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Vật Lí Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

181 tài liệu503 lượt tải