What would be the consequences for the OLS estimator if autocorrelation is present in a regression model but ignored?

Khi các phần dư (residuals) của một mô hình hồi quy có chứa các biến trễ của biến phụ thuộc (lags of the dependent variable) bị tự tương quan (autocorrelated), điều này có thể dẫn đến các ước lượng hệ số bị chệch (biased) và không nhất quán (inconsistent).

Giải thích:

• Tự tương quan (Autocorrelation): Xảy ra khi các phần dư của mô hình hồi quy có tương quan với nhau. Điều này vi phạm giả định rằng các phần dư là độc lập.
• Biến trễ của biến phụ thuộc (Lags of the dependent variable): Là các giá trị của biến phụ thuộc ở các thời điểm trước đó được đưa vào làm biến độc lập trong mô hình.
• Hệ quả của tự tương quan khi có biến trễ của biến phụ thuộc:
• Chệch (Biased): Các ước lượng hệ số sẽ không phản ánh đúng mối quan hệ thực tế giữa các biến.
• Không nhất quán (Inconsistent): Khi kích thước mẫu tăng lên, các ước lượng hệ số sẽ không hội tụ về giá trị thực tế.

Do đó, đáp án đúng là "Biased and inconsistent coefficient estimates".

Trong một chuỗi thời gian tuân theo quá trình random walk (không drift), giá trị tốt nhất để dự báo cho bước tiếp theo (1-step ahead forecast) chính là giá trị hiện tại của chuỗi đó. Điều này xuất phát từ định nghĩa của random walk, trong đó sự thay đổi của chuỗi là ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước. Do đó, dự báo tốt nhất chúng ta có thể đưa ra là giá trị mà chúng ta đã biết, tức là giá trị hiện tại.

Trong mô hình MA(1), hệ số tự tương quan tại lag 1 (ρ₁) được tính bằng công thức:

ρ₁ = θ / (1 + θ²), trong đó θ là hệ số của số hạng sai số trong mô hình MA(1).

Trong trường hợp này, θ = 0.4. Do đó,

ρ₁ = 0.4 / (1 + 0.4²) = 0.4 / (1 + 0.16) = 0.4 / 1.16 ≈ 0.3448

Vậy, giá trị gần đúng nhất của hàm tự tương quan tại lag 1 là 0.34.

Bài kiểm tra Dickey-Fuller (DF) có một số hạn chế, một trong số đó là công suất kiểm định thấp, đặc biệt là trong các mẫu nhỏ. Điều này có nghĩa là chúng có thể không đủ khả năng bác bỏ giả thuyết null về nghiệm đơn vị, ngay cả khi nó sai. Các bài kiểm tra tính dừng (stationarity tests), chẳng hạn như bài kiểm tra KPSS, giải quyết vấn đề này bằng cách đảo ngược giả thuyết null. Trong bài kiểm tra KPSS, giả thuyết null là dữ liệu là dừng (stationary), vì vậy kiểm định này có nhiều khả năng bác bỏ giả thuyết null hơn khi dữ liệu thực sự không dừng (non-stationary). Do đó, bài kiểm tra KPSS có thể được sử dụng để bổ sung cho các bài kiểm tra DF để cung cấp bằng chứng mạnh mẽ hơn về tính dừng hoặc không dừng.

Trong kiểm định Johansen, chúng ta sử dụng các trị riêng (eigenvalues) để xác định số lượng các vector đồng tích hợp (cointegrating vectors). Kiểm định "max" kiểm tra giả thuyết null về số lượng vector đồng tích hợp bằng r (trong trường hợp này, r=1) so với giả thuyết đối rằng số lượng vector đồng tích hợp là r+1.

Để kiểm tra giả thuyết null về 1 vector đồng tích hợp, chúng ta sử dụng trị riêng lớn nhất (largest eigenvalue) còn lại sau khi đã loại bỏ số lượng vector đồng tích hợp đã được xác định (trong trường hợp này là 0). Vì hệ thống có 4 biến, nên sẽ có tối đa 4 trị riêng. Nếu chúng ta kiểm định giả thuyết có 1 vector đồng tích hợp, chúng ta sẽ sử dụng trị riêng lớn nhất trong số 4 trị riêng này để tính toán thống kê kiểm định.