If the residuals of a model containing lags of the dependent variable are autocorrelated, which one of the following could this lead to?

Trong một chuỗi thời gian tuân theo quá trình random walk (không drift), giá trị tốt nhất để dự báo cho bước tiếp theo (1-step ahead forecast) chính là giá trị hiện tại của chuỗi đó. Điều này xuất phát từ định nghĩa của random walk, trong đó sự thay đổi của chuỗi là ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước. Do đó, dự báo tốt nhất chúng ta có thể đưa ra là giá trị mà chúng ta đã biết, tức là giá trị hiện tại.

Trong mô hình MA(1), hệ số tự tương quan tại lag 1 (ρ₁) được tính bằng công thức:

ρ₁ = θ / (1 + θ²), trong đó θ là hệ số của số hạng sai số trong mô hình MA(1).

Trong trường hợp này, θ = 0.4. Do đó,

ρ₁ = 0.4 / (1 + 0.4²) = 0.4 / (1 + 0.16) = 0.4 / 1.16 ≈ 0.3448

Vậy, giá trị gần đúng nhất của hàm tự tương quan tại lag 1 là 0.34.

Bài kiểm tra Dickey-Fuller (DF) có một số hạn chế, một trong số đó là công suất kiểm định thấp, đặc biệt là trong các mẫu nhỏ. Điều này có nghĩa là chúng có thể không đủ khả năng bác bỏ giả thuyết null về nghiệm đơn vị, ngay cả khi nó sai. Các bài kiểm tra tính dừng (stationarity tests), chẳng hạn như bài kiểm tra KPSS, giải quyết vấn đề này bằng cách đảo ngược giả thuyết null. Trong bài kiểm tra KPSS, giả thuyết null là dữ liệu là dừng (stationary), vì vậy kiểm định này có nhiều khả năng bác bỏ giả thuyết null hơn khi dữ liệu thực sự không dừng (non-stationary). Do đó, bài kiểm tra KPSS có thể được sử dụng để bổ sung cho các bài kiểm tra DF để cung cấp bằng chứng mạnh mẽ hơn về tính dừng hoặc không dừng.

Trong kiểm định Johansen, chúng ta sử dụng các trị riêng (eigenvalues) để xác định số lượng các vector đồng tích hợp (cointegrating vectors). Kiểm định "max" kiểm tra giả thuyết null về số lượng vector đồng tích hợp bằng r (trong trường hợp này, r=1) so với giả thuyết đối rằng số lượng vector đồng tích hợp là r+1.

Để kiểm tra giả thuyết null về 1 vector đồng tích hợp, chúng ta sử dụng trị riêng lớn nhất (largest eigenvalue) còn lại sau khi đã loại bỏ số lượng vector đồng tích hợp đã được xác định (trong trường hợp này là 0). Vì hệ thống có 4 biến, nên sẽ có tối đa 4 trị riêng. Nếu chúng ta kiểm định giả thuyết có 1 vector đồng tích hợp, chúng ta sẽ sử dụng trị riêng lớn nhất trong số 4 trị riêng này để tính toán thống kê kiểm định.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về kiểm định giả thuyết liên quan đến vectơ đồng tích hợp trong phương pháp Johansen.

- Phương án 1: Sai. Nếu giả thuyết bị bác bỏ (restriction is rejected), điều này có nghĩa là hạn chế áp đặt lên vectơ đồng tích hợp không phù hợp với dữ liệu. Số lượng vectơ đồng tích hợp không tự động tăng lên khi giả thuyết bị bác bỏ. Việc bác bỏ giả thuyết chỉ ra rằng các hạn chế cụ thể không đúng.

- Phương án 2: Sai. Tương tự như trên, việc bác bỏ giả thuyết không trực tiếp làm giảm số lượng eigenvalues.

- Phương án 3: Đúng. Khi áp đặt các hạn chế lên mô hình (cho dù các hạn chế này được hỗ trợ bởi dữ liệu hay không), các eigenvalues thường sẽ thay đổi một chút. Điều này xảy ra vì việc áp đặt các hạn chế sẽ ảnh hưởng đến ước lượng của mô hình và do đó ảnh hưởng đến các giá trị riêng.

- Phương án 4: Đúng. Nếu có các vectơ đồng tích hợp, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ này cũng sẽ là một vectơ đồng tích hợp. Điều này là do đồng tích hợp là một tính chất tuyến tính.

Vì câu hỏi yêu cầu chọn một đáp án đúng, và cả phương án 3 và 4 đều đúng, tuy nhiên phương án 3 mang tính bao quát hơn về tác động của việc áp đặt ràng buộc lên mô hình Johansen. Phương án 4 đúng nhưng không liên quan trực tiếp đến quá trình kiểm định bác bỏ hay không bác bỏ giả thuyết.