Trong một vùng dân cư tỷ lệ nữ là 55%, có một nạn dịch bệnh truyền nhiễm với tỷ lệ mắc dịch của nam là 6%, của nữ là 2%. Chọn ngẫu nhiên một người của vùng đó, được người mắc bệnh. Thì tỷ lệ mắc bệnh nam là:

Gọi I là biến cố súng I bắn trúng, II là biến cố súng II bắn trúng.

Ta có: P(I) = 0.7, P(II) = 0.8

A = "trong hai viên chỉ có một viên trúng" = (I không trúng, II trúng) hoặc (I trúng, II không trúng)

=> P(A) = P(I̅).P(II) + P(I).P(II̅) = (1-0.7)*0.8 + 0.7*(1-0.8) = 0.24 + 0.14 = 0.38

B = "viên của súng I trúng"

C = "cả hai viên trúng" = I và II cùng trúng => P(C) = P(I).P(II) = 0.7*0.8 = 0.56

P(A/C) = XS để A xảy ra khi C đã xảy ra. Vì C là cả hai viên đều trúng nên không thể có trường hợp chỉ 1 viên trúng.

=> P(A/C) = 0.

P(B/C) = XS để B xảy ra khi C đã xảy ra. Vì C là cả hai viên đều trúng, thì viên của súng I chắc chắn trúng.

=> P(B/C) = 1

P(B/A) = P(A và B) / P(A). A và B = súng I trúng và chỉ có 1 viên trúng = I trúng, II không trúng.

P(A và B) = P(I).P(II̅) = 0.7*(1-0.8) = 0.7*0.2 = 0.14

P(B/A) = 0.14/0.38 = 14/38 = 7/19

Vậy, P(A/C) = 0 , P(B/C) = 1 , P(B/A) = 7/19

Trong trường hợp này, ta có một số lượng lớn sản phẩm (n = 1000) và xác suất tạo phế phẩm rất nhỏ (p = 0.005). Đây là điều kiện phù hợp để xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson. Phân phối Poisson thường được sử dụng để mô hình hóa số lượng sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian nhất định, khi các sự kiện này xảy ra một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Trong bài toán này, mỗi sản phẩm được sản xuất có thể coi là một thử nghiệm Bernoulli, và số lượng phế phẩm là số lượng thành công trong 1000 thử nghiệm. Khi n lớn và p nhỏ, phân phối Poisson là một xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức.

X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi giá trị có xác suất 1/6.

E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2

E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12