Trong bất kỳ một nhóm có 367 người, thế nào cũng có:

Bài toán này là một bài toán tổ hợp quen thuộc: tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x₁ + x₂ + x₃ = 11.

Đây là bài toán chia kẹo Euler, ta có thể áp dụng công thức số nghiệm nguyên không âm của phương trình x₁ + x₂ + ... + xₖ = n là C(n + k - 1, k - 1) hay C(n + k - 1, n).

Trong trường hợp này, n = 11 và k = 3. Vậy số nghiệm nguyên không âm là C(11 + 3 - 1, 3 - 1) = C(13, 2).

Tính C(13, 2) = 13! / (2! * 11!) = (13 * 12) / (2 * 1) = 13 * 6 = 78.

Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình là 78.

Số chuỗi bit có độ dài n là 2^n. Vì vậy, số chuỗi bit có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 6 là tổng số chuỗi bit có độ dài 0, 1, 2, 3, 4, 5 và 6.
Số chuỗi bit có độ dài 0 là 2^0 = 1
Số chuỗi bit có độ dài 1 là 2^1 = 2
Số chuỗi bit có độ dài 2 là 2^2 = 4
Số chuỗi bit có độ dài 3 là 2^3 = 8
Số chuỗi bit có độ dài 4 là 2^4 = 16
Số chuỗi bit có độ dài 5 là 2^5 = 32
Số chuỗi bit có độ dài 6 là 2^6 = 64
Tổng cộng: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Vì không có đáp án nào là 127, nên có thể có một lỗi trong câu hỏi hoặc các lựa chọn đáp án. Tuy nhiên, nếu đề bài hỏi số chuỗi bit có độ dài *nhỏ hơn* 6, thì đáp án là 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Gần nhất với 63 là 64. Nếu đề bài là *tối đa* 6, thì 127 là đáp án đúng. Không có đáp án nào đúng tuyệt đối. Nếu đề bài chỉ hỏi các chuỗi có độ dài *chính xác* bằng 6 thì đáp án sẽ là 64.
Tuy nhiên, với đề bài hiện tại là "nhỏ hơn hoặc bằng 6", thì kết quả đúng phải là 127. Do đó, các đáp án được cung cấp đều không chính xác.

Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} phải thỏa mãn điều kiện: chữ số đầu tiên khác 0.

Bước 1: Chọn chữ số đầu tiên (hàng chục nghìn). Vì chữ số này phải khác 0, ta có 6 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Bước 2: Chọn 4 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại (sau khi đã chọn chữ số đầu tiên). Ta có A(6,4) = 6! / (6-4)! = 6! / 2! = 6 * 5 * 4 * 3 = 360 cách chọn và sắp xếp.

Vậy, tổng số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ A là: 6 * 360 = 2160.

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các số chẵn: Trong các số từ 1 đến 5, các số chẵn là 2 và 4.
2. Gộp các số chẵn: Xem hai số chẵn (2 và 4) như một khối. Vậy ta có khối (2, 4) và ba số lẻ (1, 3, 5).
3. Hoán vị khối và các số lẻ: Ta có 4 phần tử để hoán vị: (2, 4), 1, 3, 5. Số cách hoán vị 4 phần tử là 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
4. Hoán vị các số chẵn trong khối: Trong khối (2, 4), ta có thể hoán vị 2 và 4 cho nhau. Có 2! = 2 * 1 = 2 cách.
5. Tính tổng số cách xếp: Nhân số cách hoán vị khối và các số lẻ với số cách hoán vị các số chẵn trong khối: 24 * 2 = 48.

Vậy có 48 cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau.

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn 3 đồ chơi cho bé nhỏ nhất: Có C(9, 3) = 9! / (3! * 6!) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1) = 84 cách.

2. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ hai (trong số 6 đồ chơi còn lại): Có C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15 cách.

3. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ ba (trong số 4 đồ chơi còn lại): Có C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 cách.

4. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ tư (trong số 2 đồ chơi còn lại): Có C(2, 2) = 2! / (2! * 0!) = 1 cách.

Vậy, tổng số cách chia là: 84 * 15 * 6 * 1 = 7560 cách.

Vậy đáp án đúng là 7560.