Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn 3 đồ chơi cho bé nhỏ nhất: Có C(9, 3) = 9! / (3! * 6!) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1) = 84 cách.

2. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ hai (trong số 6 đồ chơi còn lại): Có C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15 cách.

3. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ ba (trong số 4 đồ chơi còn lại): Có C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 cách.

4. Chọn 2 đồ chơi cho bé thứ tư (trong số 2 đồ chơi còn lại): Có C(2, 2) = 2! / (2! * 0!) = 1 cách.

Vậy, tổng số cách chia là: 84 * 15 * 6 * 1 = 7560 cách.

Vậy đáp án đúng là 7560.

Luồng cực đại trong mạng bị giới hạn bởi lát cắt hẹp nhất. Giá trị của luồng cực đại không thể vượt quá khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất, vì đó là nút thắt cổ chai của mạng. Các lát cắt khác có khả năng thông qua lớn hơn sẽ không ảnh hưởng đến luồng cực đại.

Để một đồ thị vô hướng tồn tại với bậc của các đỉnh cho trước, tổng bậc của tất cả các đỉnh phải là một số chẵn. Đồng thời, bậc của mỗi đỉnh phải nhỏ hơn hoặc bằng n-1 (với n là số đỉnh). Ta kiểm tra từng đáp án:

1. 2, 4, 3, 1, 4, 2, 5: Tổng bậc = 2 + 4 + 3 + 1 + 4 + 2 + 5 = 21 (lẻ). Vậy không tồn tại đồ thị.
2. 3, 4, 2, 1, 4, 2, 6: Tổng bậc = 3 + 4 + 2 + 1 + 4 + 2 + 6 = 22 (chẵn). Số đỉnh là 7. Bậc lớn nhất là 6 <= 7-1 = 6. Có thể tồn tại.
3. 5, 2, 2, 1, 3, 2, 4: Tổng bậc = 5 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 4 = 19 (lẻ). Vậy không tồn tại đồ thị.
4. 2, 1, 4, 3, 4, 2, 7: Tổng bậc = 2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 2 + 7 = 23 (lẻ). Vậy không tồn tại đồ thị.

Vậy chỉ có đáp án 2 có tổng bậc chẵn và bậc lớn nhất thỏa mãn điều kiện. Tuy nhiên, để chắc chắn hơn, ta cần sử dụng định lý Havel-Hakimi để kiểm tra xem dãy bậc này có thể hiện thực được hay không. Tuy nhiên, vì các đáp án khác đều loại được một cách dễ dàng nên ta chọn đáp án 2.

Thuật toán BFS (Breadth-First Search) duyệt đồ thị theo chiều rộng. Bắt đầu từ đỉnh 1:

1. Đỉnh 1: Thăm đỉnh 1.
2. Các đỉnh kề với 1: Các đỉnh kề với 1 là 2, 4, 7. Thăm các đỉnh này theo thứ tự.
3. Đỉnh 2: Thăm đỉnh 2.
4. Đỉnh 4: Thăm đỉnh 4.
5. Đỉnh 7: Thăm đỉnh 7.
6. Các đỉnh kề với 2: Đỉnh kề với 2 là 3, 6. Thăm các đỉnh này theo thứ tự.
7. Đỉnh 3: Thăm đỉnh 3.
8. Đỉnh 6: Thăm đỉnh 6.
9. Các đỉnh kề với 4: Đỉnh kề với 4 là 8, 5. Thăm các đỉnh này theo thứ tự.
10. Đỉnh 8: Thăm đỉnh 8.
11. Đỉnh 5: Thăm đỉnh 5.
12. Các đỉnh kề với 7: Đỉnh kề với 7 là 9, 10. Thăm các đỉnh này theo thứ tự.
13. Đỉnh 9: Thăm đỉnh 9.
14. Đỉnh 10: Thăm đỉnh 10.

Vậy, thứ tự duyệt BFS là: 1, 2, 4, 7, 3, 6, 8, 5, 9, 10.