Tính vi phân của ${(x^2+2)}^x$

Khi x → 0, ta có sin(x) ~ x và tan(x) ~ x. Ta cần tìm vô cùng bé tương đương với sin(x² + 2x). Vì x → 0, nên x² + 2x → 0. Do đó, sin(x² + 2x) ~ x² + 2x. Xét các phương án: A. xtan(x+2) ~ x(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án A tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0. B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x². Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0. C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x. Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0. D. xsin(x+2) ~ x(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án D tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0. Tuy nhiên, phương án A có vẻ chính xác hơn. Khi x->0 thì tan(x+2) -> tan(2) là 1 hằng số. Do đó x*tan(x+2) không tương đương với x^2 + 2x. Phương án D cũng tương tự.

Ta sẽ xét lại phương án A và D: A. xtan(x+2) không tương đương với x² + 2x D. xsin(x+2) không tương đương với x² + 2x

Bây giờ ta xét phương án B và C. B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x² không tương đương với x² + 2x C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x không tương đương với x² + 2x

Như vậy, không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên nếu ta xét: sin(x^2+2x) ~ x^2+2x = x(x+2) Với đáp án D: xsin(x+2) ~ x(sin(2)) ~ x. Đáp án này không tương đương Với đáp án A: xtan(x+2) ~ x tan(2) ~ x. Đáp án này cũng không tương đương Với đáp án B: tan(x+2x^2) ~ x+2x^2 ~ x. Đáp án này cũng không tương đương Với đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Đáp án này cũng không tương đương Vậy không có đáp án nào đúng. Nhưng nếu đề bài là x -> 0, thì sin(x^2+2x) ~ x^2 + 2x = x(x+2). Nếu x rất bé thì x^2 << x => x^2+2x ~ 2x. Nếu đề bài là x->0+ (x dần đến 0 từ bên phải) thì x>0. Xét đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Vậy đáp án C có vẻ đúng nhất.

Để hàm số xác định trên đoạn [-1;3], biểu thức dưới dấu căn phải không âm và mẫu số (nếu có) phải khác 0 trên đoạn này.

• Đáp án A:( \sqrt{-x^2 + 3x - 2} ). Ta có ( -x^2 + 3x - 2 \ge 0 ) khi ( 1 \le x \le 2 ). Vậy hàm số xác định trên đoạn [1;2], là một tập con của [-1;3]. Do đó, A đúng.

• Đáp án B: ( \sqrt{\frac{x-1}{3-x}} ). Ta có ( \frac{x-1}{3-x} \ge 0 ) khi ( 1 \le x < 3 ). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;3), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, B sai.

• Đáp án C: ( \ln\left(\frac{4-x}{x-5}\right) ). Ta có ( \frac{4-x}{x-5} > 0 ) khi ( 4 > x > 5 ), điều này không thể xảy ra. Vậy hàm số không xác định trên đoạn [-1,3]. Do đó, C sai.

• Đáp án D: ( \sqrt{\frac{x-1}{4-x}} ). Ta có ( \frac{x-1}{4-x} \ge 0 ) khi ( 1 \le x < 4 ). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;4), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, D sai.

Để tìm tiệm cận xiên của hàm số (C): [y = \sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}] ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giới hạn của (\frac{y}{x}) khi x tiến tới vô cùng: [\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{y}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}}}{x} = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^3}}}}}= \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} = 1] Vậy, a = 1.

2. Tìm giới hạn của (y - ax) khi x tiến tới vô cùng: [\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}} - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right)] Đặt (t = \frac{1}{x}), khi (x \to \infty ) thì (t \to 0). [\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{2}{x}}} - 1} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t}] Sử dụng quy tắc L'Hopital: [\mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 2t}} - 1}}{t} = \mathop {lim}\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {1 - 2t} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - 2} \right)}}{1} = - \frac{2}{3}] Vậy, b = -2/3.

Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là [y = x - \frac{2}{3}] hay [y = - \frac{2}{3} + x] Vậy đáp án đúng là A.

Để hàm số f(x) có cực tiểu tại điểm (-1; 0), thì điểm này phải thuộc đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số tại x = -1 phải bằng 0, đồng thời đạo hàm cấp hai tại x = -1 phải dương.

Ta có f(x) = 2x³ + 3x² + ax + b Vì f(x) có cực tiểu tại (-1; 0) nên:

1. f(-1) = 0
2. f'(-1) = 0

Tính f(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + a(-1) + b = -2 + 3 - a + b = 1 - a + b = 0 => a - b = 1

Tính f'(x) = 6x² + 6x + a => f'(-1) = 6(-1)² + 6(-1) + a = 6 - 6 + a = a = 0

Thay a = 0 vào a - b = 1, ta được 0 - b = 1 => b = -1

Vậy a = 0 và b = -1.

Ta kiểm tra lại điều kiện đạo hàm cấp 2: f''(x) = 12x + 6 f''(-1) = 12(-1) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 Vì f''(-1) < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1, trái với giả thiết hàm số đạt cực tiểu tại x = -1. Vậy, không tồn tại a, b thỏa mãn.