Tìm hệ số góc tiếp tuyến k của đường cong tham số

\[x\left( t \right) = \sin \left( {{t^3} - 1} \right) + 2,y\left( t \right) = 6{t^2} - 3t\] tại điểm có hoành độ x = 2.

Để tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{(1+x^2)}^{{\displaystyle \frac{1}{x}}+1}-1}{x}$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc khai triển Taylor. Tuy nhiên, việc sử dụng khai triển Taylor có vẻ phù hợp hơn trong trường hợp này.

Đặt $f\left(x\right)={(1+x^2)}^{\frac{1}{x}+1}$, ta cần tìm $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}$ nếu $f\left(0\right)=1$ (chú ý rằng $f\left(0\right)$ không xác định trực tiếp, ta cần tính giới hạn).

Ta có $\ln f\left(x\right)=(\frac{1}{x}+1)\ln (1+x^2)=(\frac{1}{x}+1)(x^2-\frac{x^4}{2}+O(x^6\left)\right)=x-\frac{x^3}{2}+x^2-\frac{x^4}{2}+O\left(x^5\right)$

Do đó, $f\left(x\right)=e^{\ln f\left(x\right)}=e^{x+x^2-\frac{x^3}{2}+...}=1+(x+x^2-\frac{x^3}{2}+...)+\frac{1}{2}(x+x^2-\frac{x^3}{2}+...{)}^2+...=1+x+x^2+\frac{x^2}{2}+O({\mathrm{x<mn>3</mn>}}^{})=1+x+\frac{3}{2}{x}^2+O(x^3)$

Vậy, $\frac{f\left(x\right)-1}{x}=\frac{1+x+\frac{3}{2}{x}^2+O\left(x^3\right)-1}{x}=1+\frac{3}{2}x+O\left(x^2\right)$

Khi $x\to 0$, giới hạn của biểu thức trên là 1.

Đặt $y = (x^2+2)^x$.

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:

$\ln y = x \ln(x^2+2)$.

Lấy vi phân hai vế, ta có:

$\frac{dy}{y} = \ln(x^2+2) dx + x \cdot \frac{2x}{x^2+2} dx = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] dx$.

Do đó,

$dy = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] y dx = \left[\ln(x^2+2) + \frac{2x^2}{x^2+2}\right] (x^2+2)^x dx$.

Vậy, đáp án đúng là B.

Khi x → 0, ta có sin(x) ~ x và tan(x) ~ x.
Ta cần tìm vô cùng bé tương đương với sin(x² + 2x).
Vì x → 0, nên x² + 2x → 0.
Do đó, sin(x² + 2x) ~ x² + 2x.
Xét các phương án:
A. x*tan(x+2) ~ x*(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án A tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0.
B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x². Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0.
C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x. Phương án này không tương đương với x² + 2x khi x → 0.
D. x*sin(x+2) ~ x*(x+2) = x² + 2x. Như vậy, phương án D tương đương với sin(x² + 2x) khi x → 0.
Tuy nhiên, phương án A có vẻ chính xác hơn. Khi x->0 thì tan(x+2) -> tan(2) là 1 hằng số. Do đó x*tan(x+2) không tương đương với x^2 + 2x. Phương án D cũng tương tự.

Ta sẽ xét lại phương án A và D:
A. x*tan(x+2) không tương đương với x² + 2x
D. x*sin(x+2) không tương đương với x² + 2x

Bây giờ ta xét phương án B và C.
B. tan(x + 2x²) ~ x + 2x² không tương đương với x² + 2x
C. tan(3x² + 2x) ~ 3x² + 2x không tương đương với x² + 2x

Như vậy, không có đáp án nào đúng. Tuy nhiên nếu ta xét:
sin(x^2+2x) ~ x^2+2x = x(x+2)
Với đáp án D: xsin(x+2) ~ x(sin(2)) ~ x. Đáp án này không tương đương
Với đáp án A: xtan(x+2) ~ x tan(2) ~ x. Đáp án này cũng không tương đương
Với đáp án B: tan(x+2x^2) ~ x+2x^2 ~ x. Đáp án này cũng không tương đương
Với đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Đáp án này cũng không tương đương
Vậy không có đáp án nào đúng.
Nhưng nếu đề bài là x -> 0, thì sin(x^2+2x) ~ x^2 + 2x = x(x+2). Nếu x rất bé thì x^2 << x => x^2+2x ~ 2x.
Nếu đề bài là x->0+ (x dần đến 0 từ bên phải) thì x>0.
Xét đáp án C: tan(3x^2+2x) ~ 3x^2+2x = x(3x+2) ~ 2x. Vậy đáp án C có vẻ đúng nhất.

Để hàm số xác định trên đoạn [-1;3], biểu thức dưới dấu căn phải không âm và mẫu số (nếu có) phải khác 0 trên đoạn này.

* Đáp án A:\( \sqrt{-x^2 + 3x - 2} \). Ta có \( -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \) khi \( 1 \le x \le 2 \). Vậy hàm số xác định trên đoạn [1;2], là một tập con của [-1;3]. Do đó, A đúng.

* Đáp án B: \( \sqrt{\frac{x-1}{3-x}} \). Ta có \( \frac{x-1}{3-x} \ge 0 \) khi \( 1 \le x < 3 \). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;3), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, B sai.

* Đáp án C: \( \ln\left(\frac{4-x}{x-5}\right) \). Ta có \( \frac{4-x}{x-5} > 0 \) khi \( 4 > x > 5 \), điều này không thể xảy ra. Vậy hàm số không xác định trên đoạn [-1,3]. Do đó, C sai.

* Đáp án D: \( \sqrt{\frac{x-1}{4-x}} \). Ta có \( \frac{x-1}{4-x} \ge 0 \) khi \( 1 \le x < 4 \). Vậy hàm số xác định trên nửa khoảng [1;4), không phải trên đoạn [-1,3]. Do đó, D sai.