Những dạng tải trọng nào sau đây thuộc bài toán phẳng khi xác định ứng suất trong nền đất:

Khi tải trọng phân bố p tác dụng lên nền đất dính bão hòa nước, do tính thấm nước kém của đất dính, nước trong đất không thoát ra kịp thời. Toàn bộ tải trọng ngoài sẽ do áp lực nước lỗ rỗng (u) chịu. Do đó, ứng suất hữu hiệu (σ') ban đầu sẽ bằng không, vì σ' = σ - u, và σ = u = p (σ là ứng suất tổng).

Ứng suất có hiệu là ứng suất do phần hạt đất chịu, được tính bằng tổng ứng suất trừ đi áp lực nước lỗ rỗng. Khi mực nước ngầm tăng, áp lực nước lỗ rỗng (u) tăng lên. Vì tổng ứng suất không đổi (hoặc thay đổi không đáng kể), ứng suất có hiệu sẽ giảm theo công thức: σ' = σ - u.

Để xác định ứng suất thẳng đứng \({\sigma _z}\) tại điểm A(x = 0.5m; z = 1m) do tải trọng hình băng phân bố đều, ta sử dụng công thức tính ứng suất theo lý thuyết đàn hồi của Boussinesq cho tải trọng băng.

Công thức ứng suất thẳng đứng \({\sigma _z}\) dưới một tải trọng hình băng phân bố đều có cường độ \(p\) và bề rộng \(2B\) (trong đó \(B = b/2\)) tại điểm có tọa độ \((x, z)\) (gốc tọa độ đặt tại tâm của dải băng trên mặt đất) là:

\({\sigma _z} = \frac{p}{\pi }\left[ {\arctan \left( {\frac{{x + B}}{z}} \right) - \arctan \left( {\frac{{x - B}}{z}} \right) + \frac{{\left( {x + B} \right)z}}{{{{\left( {x + B} \right)}^2} + {z^2}}} - \frac{{\left( {x - B} \right)z}}{{{{\left( {x - B} \right)}^2} + {z^2}}}} \right]\)

Trong đó:
* \(p\) là cường độ tải trọng phân bố đều = 240 kN/m²
* \(b\) là bề rộng dải băng = 2m. Vậy \(B = b/2 = 2/2 = 1m\).
* \(x\) là khoảng cách từ tâm dải băng đến điểm cần tính ứng suất theo phương ngang = 0.5m.
* \(z\) là độ sâu từ mặt đất đến điểm cần tính ứng suất = 1m.

Thay các giá trị vào công thức:

1. Tính các thành phần \((x + B)/z\) và \((x - B)/z\):
* \(\frac{{x + B}}{z} = \frac{{0.5 + 1}}{1} = \frac{{1.5}}{1} = 1.5\)
* \(\frac{{x - B}}{z} = \frac{{0.5 - 1}}{1} = \frac{{ - 0.5}}{1} = - 0.5\)

2. Tính các giá trị \(\arctan\) (đơn vị radian):
* \(\arctan(1.5) \approx 0.98279\) rad
* \(\arctan(-0.5) \approx -0.46365\) rad
* Hiệu \(\arctan\) là: \(0.98279 - (-0.46365) = 0.98279 + 0.46365 = 1.44644\) rad

3. Tính các thành phần phân số:
* \(\frac{{\left( {x + B} \right)z}}{{{{\left( {x + B} ight)}^2} + {z^2}}} = \frac{{\left( {1.5} \right) \times 1}}{{{{1.5}^2} + {1^2}}} = \frac{{1.5}}{{2.25 + 1}} = \frac{{1.5}}{{3.25}} \approx 0.46154\)
* \(\frac{{\left( {x - B} ight)z}}{{{{\left( {x - B} ight)}^2} + {z^2}}} = \frac{{\left( {-0.5} \right) \times 1}}{{{{\left( {-0.5} ight)}^2} + {1^2}}} = \frac{{-0.5}}{{0.25 + 1}} = \frac{{-0.5}}{{1.25}} = -0.4\)
* Hiệu các thành phần phân số là: \(0.46154 - (-0.4) = 0.46154 + 0.4 = 0.86154\)

4. Thay tất cả vào công thức chính:
\({\sigma _z} = \frac{{240}}{\pi }\left[ {1.44644 + 0.86154} \right]\)
\({\sigma _z} = \frac{{240}}{\pi }\left[ {2.30798} \right]\)
\({\sigma _z} \approx \frac{{240}}{{3.14159}} \times 2.30798\)
\({\sigma _z} \approx 76.394 \times 2.30798\)
\({\sigma _z} \approx 176.32\) kN/m²

Giá trị gần đúng nhất là 176,3 kN/m².

So sánh với các phương án đã cho, giá trị 176,3 kN/m² gần nhất với phương án 1.

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính ứng suất do tải trọng hình băng gây ra. Ứng suất ngang (\sigma_x) tại một điểm trong đất do tải trọng hình băng gây ra có thể được tính bằng phương pháp gần đúng như sau:

(\sigma_x = I \cdot p)

Trong đó:

(p) là áp lực tải trọng (kN/m²).

(I) là hệ số ảnh hưởng ứng suất ngang, phụ thuộc vào tỉ lệ giữa chiều sâu (z) và nửa chiều rộng của băng tải (b), và khoảng cách ngang từ điểm tính đến tâm băng tải (x).

Trong trường hợp này, ta có hai tải trọng hình băng, p1 và p2. Ta cần tính ứng suất ngang do từng tải trọng gây ra tại điểm A, rồi cộng lại.

Đối với tải trọng p1 = 140 kN/m²:

x1 = 1.5 m (khoảng cách từ A đến tâm của p1)

z = 3 m (chiều sâu của điểm A)

b1 = 3 m (nửa chiều rộng của p1)

Ta có thể ước lượng I1 bằng cách sử dụng biểu đồ hoặc bảng tra sẵn có cho bài toán ứng suất do tải trọng hình băng gây ra. Vì không có biểu đồ cụ thể, ta ước lượng I1 khoảng 0.2 (giá trị này có thể khác biệt tùy thuộc vào biểu đồ hoặc phần mềm sử dụng).

Vậy, (\sigma_{x1} = 0.2 \cdot 140 = 28) kN/m²

Đối với tải trọng p2 = 250 kN/m²:

x2 = 4.5 m (khoảng cách từ A đến tâm của p2)

z = 3 m (chiều sâu của điểm A)

b2 = 3 m (nửa chiều rộng của p2)

Tương tự, ta ước lượng I2 khoảng 0.16 (giá trị này có thể khác biệt tùy thuộc vào biểu đồ hoặc phần mềm sử dụng).

Vậy, (\sigma_{x2} = 0.16 \cdot 250 = 40) kN/m²

Ứng suất tổng cộng tại A là:

(\sigma_x = \sigma_{x1} + \sigma_{x2} = 28 + 40 = 68) kN/m²

Độ lún của công trình xây dựng trên nền đất hạt thô bão hòa nước xảy ra rất nhanh là do hệ số thấm của đất rất lớn. Đất hạt thô (ví dụ: sỏi, cát) có kích thước hạt lớn, tạo ra các lỗ rỗng lớn giữa các hạt. Khi đất bão hòa nước, nước có thể dễ dàng chảy qua các lỗ rỗng này. Do đó, khi công trình tác dụng tải trọng lên nền đất, nước trong đất nhanh chóng thoát ra, dẫn đến sự lún nhanh chóng của công trình. Hệ số thấm đặc trưng cho khả năng cho nước thấm qua đất, hệ số thấm càng lớn thì nước thoát ra càng nhanh và độ lún càng nhanh.