Cho một tải trọng hình băng phân bố đều trên mặt đất với bề rộng b = 2m, tải trọng p = 240kN/m² như hình vẽ. Hãy xác định giá trị gần đúng nhất ứng suất \({\sigma _z}\) tại điểm A(x = 0.5m; z = 1m) do tải trọng gây ra:

Để xác định ứng suất thẳng đứng \({\sigma _z}\) tại điểm A(x = 0.5m; z = 1m) do tải trọng hình băng phân bố đều, ta sử dụng công thức tính ứng suất theo lý thuyết đàn hồi của Boussinesq cho tải trọng băng. Công thức ứng suất thẳng đứng \({\sigma _z}\) dưới một tải trọng hình băng phân bố đều có cường độ \(p\) và bề rộng \(2B\) (trong đó \(B = b/2\)) tại điểm có tọa độ \((x, z)\) (gốc tọa độ đặt tại tâm của dải băng trên mặt đất) là: \({\sigma _z} = \frac{p}{\pi }\left[ {\arctan \left( {\frac{{x + B}}{z}} \right) - \arctan \left( {\frac{{x - B}}{z}} \right) + \frac{{\left( {x + B} \right)z}}{{{{\left( {x + B} \right)}^2} + {z^2}}} - \frac{{\left( {x - B} \right)z}}{{{{\left( {x - B} \right)}^2} + {z^2}}}} \right]\) Trong đó: * \(p\) là cường độ tải trọng phân bố đều = 240 kN/m² * \(b\) là bề rộng dải băng = 2m. Vậy \(B = b/2 = 2/2 = 1m\). * \(x\) là khoảng cách từ tâm dải băng đến điểm cần tính ứng suất theo phương ngang = 0.5m. * \(z\) là độ sâu từ mặt đất đến điểm cần tính ứng suất = 1m. Thay các giá trị vào công thức: 1. Tính các thành phần \((x + B)/z\) và \((x - B)/z\): * \(\frac{{x + B}}{z} = \frac{{0.5 + 1}}{1} = \frac{{1.5}}{1} = 1.5\) * \(\frac{{x - B}}{z} = \frac{{0.5 - 1}}{1} = \frac{{ - 0.5}}{1} = - 0.5\) 2. Tính các giá trị \(\arctan\) (đơn vị radian): * \(\arctan(1.5) \approx 0.98279\) rad * \(\arctan(-0.5) \approx -0.46365\) rad * Hiệu \(\arctan\) là: \(0.98279 - (-0.46365) = 0.98279 + 0.46365 = 1.44644\) rad 3. Tính các thành phần phân số: * \(\frac{{\left( {x + B} \right)z}}{{{{\left( {x + B} ight)}^2} + {z^2}}} = \frac{{\left( {1.5} \right) \times 1}}{{{{1.5}^2} + {1^2}}} = \frac{{1.5}}{{2.25 + 1}} = \frac{{1.5}}{{3.25}} \approx 0.46154\) * \(\frac{{\left( {x - B} ight)z}}{{{{\left( {x - B} ight)}^2} + {z^2}}} = \frac{{\left( {-0.5} \right) \times 1}}{{{{\left( {-0.5} ight)}^2} + {1^2}}} = \frac{{-0.5}}{{0.25 + 1}} = \frac{{-0.5}}{{1.25}} = -0.4\) * Hiệu các thành phần phân số là: \(0.46154 - (-0.4) = 0.46154 + 0.4 = 0.86154\) 4. Thay tất cả vào công thức chính: \({\sigma _z} = \frac{{240}}{\pi }\left[ {1.44644 + 0.86154} \right]\) \({\sigma _z} = \frac{{240}}{\pi }\left[ {2.30798} \right]\) \({\sigma _z} \approx \frac{{240}}{{3.14159}} \times 2.30798\) \({\sigma _z} \approx 76.394 \times 2.30798\) \({\sigma _z} \approx 176.32\) kN/m² Giá trị gần đúng nhất là 176,3 kN/m². So sánh với các phương án đã cho, giá trị 176,3 kN/m² gần nhất với phương án 1.