Duyên đang nón len để bán, chi phí biên để làm cái thứ nhất là 12$, cái thứ hai là 14$ và cái thứ ba là 16$. Giá bán trên thị trường (cạnh tranh) hiện nay là 14$. Để tối đa hoá lợi nhuận Duyên nên làm:

Để tìm mức giá có lợi nhuận tối đa của hãng độc quyền, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm chi phí biên (MC):
- Đầu tiên, tìm hàm tổng chi phí (TC) từ hàm chi phí trung bình (AC): TC = AC * Q = (Q + 10000/Q) * Q = Q^2 + 10000
- Sau đó, tìm MC bằng cách lấy đạo hàm của TC theo Q: MC = d(TC)/dQ = 2Q

2. Tìm sản lượng tối ưu (Q*):
- Hãng độc quyền tối đa hóa lợi nhuận khi MC = MR.
- Đặt 2Q = 30 - Q
- Giải phương trình: 3Q = 30 => Q = 10

3. Tìm giá tối ưu (P*):
- Thay Q = 10 vào hàm cầu (từ hàm MR, ta có P = 30 - Q/2 => P = 30 -Q/2, tuy nhiên cách suy luận này không chính xác, hàm MR đã cho là MR=30-Q nên P không thể suy ra trực tiếp từ MR như vậy. Thay vào đó ta phải khai thác thông tin AC = Q + 10000/Q để tìm TC=Q^2+10000 và MC=2Q).
- Chúng ta cần một cách tiếp cận khác để tìm P từ Q=10. Vì MR = 30 - Q, ta có MR = 30 - 10 = 20 khi Q = 10. Ta biết rằng tại mức sản lượng tối ưu, MR = MC. Như vậy ta có MC=20. Tuy nhiên, điều này không trực tiếp cho ta giá P. Do đề bài không cho hàm cầu trực tiếp, mà cho hàm MR, ta cần hiểu hàm MR liên hệ với hàm cầu như thế nào. Trong trường hợp tổng quát, nếu hàm cầu là P(Q), thì MR = P(Q) + Q*P'(Q) trong đó P'(Q) là đạo hàm của P(Q) theo Q. Tuy nhiên, đề bài không yêu cầu tìm hàm cầu, mà chỉ yêu cầu tìm mức giá có lợi nhuận tối đa. Do đó, có lẽ có một cách hiểu khác, hoặc đề bài có thể thiếu thông tin để giải một cách chặt chẽ. Nếu chúng ta giả sử, tại Q=10, giá mà người tiêu dùng sẵn sàng trả cho đơn vị sản phẩm thứ 10, phải bằng MR tại Q=10, thì P=30-Q=30-10=20. Tuy nhiên, cách suy luận này không có cơ sở toán học vững chắc, nó chỉ là một cách giả định để có thể ra kết quả. Cách chính xác nhất là tìm hàm cầu từ hàm MR. Giả sử hàm cầu có dạng tuyến tính P=a-bQ. Khi đó, MR = a-2bQ. So sánh MR=30-Q trong đề bài, ta có a=30 và 2b=1 => b=1/2. Vậy hàm cầu là P=30-1/2Q. Khi Q=10, ta có P = 30 - 1/2*10 = 30 - 5 = 25.

Vậy, mức giá có lợi nhuận tối đa là 25.

Để doanh nghiệp hòa vốn, giá (P) phải bằng chi phí trung bình (ATC) tại điểm mà ATC đạt giá trị nhỏ nhất.

1. Tìm hàm ATC: ATC = TC/Q = 20Q^2 - 40Q + 20 + 1000/Q

2. Tìm điểm cực tiểu của ATC: Để tìm điểm cực tiểu, ta lấy đạo hàm của ATC theo Q và cho nó bằng 0:
dATC/dQ = 40Q - 40 - 1000/Q^2 = 0

=> 40Q - 40 = 1000/Q^2
=> 40Q^3 - 40Q^2 = 1000
=> Q^3 - Q^2 - 25 = 0

Giải phương trình bậc 3 này, ta được Q ≈ 3.41

3. Tính ATC tại Q ≈ 3.41:
ATC = 20(3.41)^2 - 40(3.41) + 20 + 1000/3.41
ATC ≈ 20(11.6281) - 136.4 + 20 + 293.255
ATC ≈ 232.562 - 136.4 + 20 + 293.255
ATC ≈ 409.417

Do kết quả tính toán ATC không khớp với bất kỳ đáp án nào được cung cấp, đáp án chính xác nhất là 'Cả ba câu đều sai'.

Để tìm doanh thu hòa vốn, ta cần tìm sản lượng hòa vốn trước.
1. Tìm sản lượng hòa vốn (Qhv):
Hòa vốn khi tổng doanh thu (TR) bằng tổng chi phí (TC).
TR = P * Q = (2000 - 2Q) * Q = 2000Q - 2Q^2
TC = 2Q^2 + 500
TR = TC => 2000Q - 2Q^2 = 2Q^2 + 500
=> 4Q^2 - 2000Q + 500 = 0
=> Q^2 - 500Q + 125 = 0
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
Q = (500 ± √(500^2 - 4*125)) / 2
Q = (500 ± √(250000 - 500)) / 2
Q = (500 ± √249500) / 2
Q = (500 ± 499.5) / 2
Ta có hai nghiệm:
Q1 ≈ (500 + 499.5) / 2 ≈ 499.75
Q2 ≈ (500 - 499.5) / 2 ≈ 0.25
2. Tính doanh thu hòa vốn (TRhv) cho cả hai mức sản lượng:
TRhv1 = (2000 - 2 * 499.75) * 499.75 = (2000 - 999.5) * 499.75 = 1000.5 * 499.75 ≈ 499999.875
TRhv2 = (2000 - 2 * 0.25) * 0.25 = (2000 - 0.5) * 0.25 = 1999.5 * 0.25 = 499.875
Vậy có hai mức doanh thu hòa vốn có thể xảy ra.

Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm tối đa hóa hữu dụng (TU) dưới ràng buộc ngân sách.

1. Hàm hữu dụng: TU = X(Y - 1)
2. Ràng buộc ngân sách: 10X + 10Y = 1000 => X + Y = 100 => X = 100 - Y

Thay X = 100 - Y vào hàm hữu dụng:
TU = (100 - Y)(Y - 1) = 100Y - 100 - Y^2 + Y = -Y^2 + 101Y - 100

Để tìm giá trị Y tối đa hóa TU, ta tìm đạo hàm bậc nhất của TU theo Y và đặt nó bằng 0:
TU' = -2Y + 101 = 0
=> 2Y = 101
=> Y = 50.5

Thay Y = 50.5 vào phương trình X + Y = 100:
X = 100 - 50.5 = 49.5

Thay X = 49.5 và Y = 50.5 vào hàm hữu dụng:
TU = 49.5 * (50.5 - 1) = 49.5 * 49.5 = 2450.25

Vậy, tổng số hữu dụng tối đa là 2450.25.