Cho tập A = {2, 3, 4, 5}. Tập nào trong các tập dưới đây không bằng A?

Phép hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A ∪ B (hoặc đôi khi A + B như trong câu hỏi), là một tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc thuộc cả A và B). Điều này có nghĩa là nếu một phần tử nằm trong A, hoặc nằm trong B, hoặc nằm trong cả hai, thì nó sẽ nằm trong A ∪ B.

Đáp án 1 sai vì nó mô tả phép giao của hai tập hợp (A ∩ B), không phải phép hợp.

Đáp án 3 sai vì nó mô tả phần bù của tập hợp A.

Đáp án 4 sai vì nó mô tả hiệu của hai tập hợp (A \ B hoặc A - B).

Phép hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu A + B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc thuộc cả A và B). Khi liệt kê các phần tử của A + B, mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.

Trong trường hợp này:

A = {a, b, c, 0, 1}

B = {0, a, 1, a, 2, 3}

Vậy A + B = {a, b, c, 0, 1, 2, 3}.

Trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào hoàn toàn chính xác. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là { a, 0, 1, 2, 3} vì nó chứa hầu hết các phần tử của A + B, chỉ thiếu b và c.

Tuy nhiên, theo đề bài, phép + có thể là phép hợp. Do đó ta cần tìm đáp án đúng nhất trong các đáp án đã cho, ta có đáp án đúng nhất là { a, 0, 1, 2, 3}

Tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu A x B, là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b), trong đó a thuộc A và b thuộc B. Tức là: A x B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }.

Trong trường hợp này, A = {0, 1} và B = {a, b, c}. Vậy A x B sẽ bao gồm các cặp có dạng (0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c).

Xét các đáp án:

• Đáp án 1: {(a, b), (b, 0) (a,1), (b,1), (c,0), (1, c) } - Sai vì chứa các phần tử không thuộc dạng (phần tử thuộc A, phần tử thuộc B) và thứ tự các phần tử không đúng.
• Đáp án 2: { (0, a), (0, b), (1, a), (1,b ), (0, c), (1,c)} - Đúng vì tất cả các phần tử đều thuộc dạng (phần tử thuộc A, phần tử thuộc B) và bao gồm tất cả các khả năng kết hợp.
• Đáp án 3: { (1, a), (0, 1), (0, b), (0, c), (1, b), (1, c) } - Sai vì chứa phần tử (0, 1) không đúng định dạng, 1 không thuộc B.
• Đáp án 4: { (0, a), (0, b), (0, c), (a, 1), (b, 1), (c, 1) } - Sai vì chứa các phần tử (a, 1), (b, 1), (c, 1) không đúng định dạng, a, b, c không thuộc A và 1 không thuộc B.

Vậy đáp án đúng là đáp án 2.

Bài toán này liên quan đến lý thuyết đồ thị và nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Chúng ta có thể biểu diễn mối quan hệ bạn/thù giữa các người bằng một đồ thị, trong đó mỗi người là một đỉnh, và mỗi cạnh nối hai đỉnh được tô màu xanh (bạn) hoặc đỏ (thù).

Xét một người bất kỳ, gọi là A. Trong 5 người còn lại, A có mối quan hệ với họ. Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 3 người trong số đó có cùng mối quan hệ với A (hoặc cùng là bạn, hoặc cùng là thù). Không mất tính tổng quát, giả sử A là bạn của B, C, D.

• Nếu có một cặp nào đó trong B, C, D là bạn của nhau (ví dụ B và C là bạn), thì ta có 3 người A, B, C là bạn của nhau.
• Nếu không có cặp nào trong B, C, D là bạn của nhau, thì B, C, D là thù của nhau.

Vậy, trong mọi trường hợp, luôn tồn tại 3 người là bạn của nhau hoặc là thù của nhau.

Do đó, đáp án đúng là: Trong nhóm có ba người là bạn của nhau hoặc là kẻ thù của nhau.