Cho một mẫu đất cát dưới mực nược ngầm có tỷ trọng hạt G_s = 2,71; hệ số rỗng e = 0,79. Hãy xác định trọng lượng riêng đẩy nổi: 

Bài toán Boussinesq được thiết lập dựa trên các giả thiết sau: nền đất là bán không gian đàn hồi (tức là nền đất có kích thước vô hạn theo chiều sâu và chiều ngang), nền đất đồng nhất và đẳng hướng (tức là các tính chất cơ học của đất là giống nhau ở mọi điểm và theo mọi hướng), và mặt đất phẳng và nằm ngang. Do đó, đáp án đúng là cả 3 đáp án trên.

Công thức Boussinesq được sử dụng để tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trong nền đất chịu tác dụng của tải trọng tập trung đặt trên mặt đất. Các công thức khác được sử dụng cho các trường hợp tải trọng khác hoặc điều kiện biên khác.

Bài toán không gian trong xác định ứng suất nền đất xét đến sự phân bố ứng suất theo cả ba chiều. Tải trọng dưới đáy móng đơn là một ví dụ điển hình, vì tải trọng tập trung và lan truyền theo mọi hướng trong không gian. Tải trọng dưới đáy móng băng cũng có thể được coi là bài toán không gian, đặc biệt khi xét đến sự thay đổi tải trọng dọc theo chiều dài móng và ảnh hưởng của nó lên vùng đất xung quanh. Tải trọng dưới nền đường, mặc dù có thể được đơn giản hóa thành bài toán phẳng trong một số trường hợp, nhưng vẫn có thể xét là bài toán không gian nếu xét đến sự biến đổi tải trọng và ảnh hưởng 3D của nó lên nền đất. Vì cả ba loại tải trọng đều có thể được xem xét trong bài toán không gian, đáp án đúng là 'Cả ba yếu tố trên'.

Ứng suất có hiệu là ứng suất do hạt đất chịu. Khi tính ứng suất có hiệu dưới mực nước ngầm, ta phải trừ đi áp lực nước lỗ rỗng. Do đó, ta sử dụng trọng lượng riêng đẩy nổi (hay còn gọi là trọng lượng riêng hiệu quả) để tính toán, vì nó đã được hiệu chỉnh để trừ đi ảnh hưởng của nước. Trọng lượng riêng đẩy nổi được tính bằng trọng lượng riêng bão hòa trừ đi trọng lượng riêng của nước.

Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính ứng suất theo phương x do tải trọng dải gây ra tại một điểm trong nền đất. Công thức này có dạng:

\(\sigma_x = \frac{p}{\pi} [\alpha - sin(\alpha)cos(\alpha + 2\beta)]\)

Trong đó:
- p là áp lực phân bố đều (240 kN/m²)
- \(\alpha\) là góc chắn nửa bề rộng dải tải từ điểm đang xét
- \(\beta\) là góc giữa phương thẳng đứng và đường nối từ điểm đang xét đến mép dải tải

Tính các góc \(\alpha\) và \(\beta\):
Ta có x = 1m, z = 1m, và b = 2m. Vì vậy, nửa bề rộng dải tải là b/2 = 1m.

Điểm A có tọa độ (1, 1).

Tính góc \(\alpha_1\) và \(\beta_1\) cho nửa dải tải bên trái điểm A:
- Khoảng cách ngang từ điểm A đến mép trái của dải tải: 1m + 1m = 2m
- \(\beta_1 = arctan(\frac{2}{1}) = arctan(2) \approx 63.43^o\)

Tính góc \(\alpha_2\) và \(\beta_2\) cho nửa dải tải bên phải điểm A:
- Khoảng cách ngang từ điểm A đến mép phải của dải tải: 1m - 1m = 0m
- \(\beta_2 = arctan(\frac{0}{1}) = arctan(0) = 0^o\)

\(\alpha = \beta_1 - \beta_2 = 63.43^o - 0^o = 63.43^o\) (chuyển sang radian: \(\alpha \approx 1.106 rad\))
\(\beta = (\beta_1 + \beta_2)/2 = (63.43^o + 0^o)/2 = 31.715^o\) (chuyển sang radian: \(\beta \approx 0.553 rad\))

Thay vào công thức:
\(\sigma_x = \frac{240}{\pi} [1.106 - sin(1.106)cos(1.106 + 2*0.553)] \approx \frac{240}{\pi} [1.106 - 0.894cos(2.212)] \approx \frac{240}{\pi} [1.106 - 0.894*(-0.60)] \approx \frac{240}{\pi} [1.106 + 0.5364] \approx \frac{240}{\pi} * 1.6424 \approx 17.82 * 1.6424 \approx 36.16 kN/m^2\)

Vậy, giá trị gần đúng nhất của ứng suất có hiệu \({\sigma _x}\) tại điểm A là 36,16 kN/m².