Cho biết quan hệ nào là quan hệ tương đương trên tập {0, 1, 2, 3}:

Để giải bài toán này, ta cần liệt kê tất cả các xâu nhị phân độ dài 6 chứa 4 số 0 liên tiếp. Các trường hợp có thể xảy ra: 1. 00001x: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 000010, 000011. 2. x00001: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 000001, 100001. 3. 10000x: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 100000, 100001. 4. x10000: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 010000, 110000. 5. 00000x: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 000000, 000001 (xâu 000001 đã được tính ở trường hợp 1 và 2, ta chỉ tính xâu 000000). 6. x00000: x có thể là 0 hoặc 1. Ta có 2 xâu: 000000, 100000 (xâu 000000 đã được tính ở trường hợp 5, xâu 100000 đã được tính ở trường hợp 3 và 4). 7. 0000xx: Ta có các xâu 000000, 000001, 000010, 000011. Trong đó 000000, 000001 đã được tính. còn 000010, 000011 đã được tính. 8. xx0000: Ta có các xâu 000000, 010000, 100000, 110000. Trong đó 000000, 010000, 100000, 110000 đã được tính. Vậy, các xâu nhị phân thỏa mãn là: 000010, 000011, 000001, 100001, 100000, 110000, 010000, 000000. Tuy nhiên, ta có thể có các trường hợp 5 số 0 liên tiếp: 000000, 000001, 100000 và 6 số 0 liên tiếp 000000. Các trường hợp 4 số 0 liên tiếp: - 000010, 000011 - 100001, 010000, 110000, 100000 - 000100 - 001000 Số lượng xâu thỏa mãn là 8: 000000, 000001, 000010, 000011, 100000, 010000, 100001, 110000 Nhưng xâu 000000 chứa 4 số 0 liên tiếp, xâu 000001, 000010, 000011, 100000, 010000, 100001, 110000 cũng chứa 4 số 0 liên tiếp. Tổng cộng có 8 xâu. Vậy đáp án là 8.

Quan hệ R trên tập A có tính phản đối xứng nếu với mọi a, b thuộc A, nếu (a, b) thuộc R và (b, a) thuộc R thì a = b. Điều này có nghĩa là nếu có cả (a,b) và (b,a) trong quan hệ, thì a và b phải là một (a=b, hay là (a,a)). Xét các đáp án: 1. R = {(a,a), (a,b), (b,c), (b,d), (c,c), (c,b), (d,a), (d,b)}. Có (a,b) và (b,c) thuộc R, nhưng không có (b,a) và (c,b) đồng thời thuộc R. Có (d,a) thuộc R, nhưng không có (a,d) thuộc R. Có (c,b) thuộc R nhưng (b,c) thuộc R. Vậy a=b, b=c. Có (a,b) và (b,c), có (c,c), (a,a), (b,b) nên chưa chắc quan hệ này phản đối xứng. 2. R = {(a,a), (a,c), (a,d), (c, b),(c,c), (d,b), (d,c)}. Không có cặp (x,y) và (y,x) nào đồng thời thuộc R ngoại trừ dạng (x,x). Vậy quan hệ này có tính phản đối xứng. 3. R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c), (c,a), (d,d), (d,b)}. Có (a,c) và (c,a) thuộc R, vậy a=c. Quan hệ này có tính phản đối xứng. 4. R = {(a,a), (a,c), (b,b), (b,d), (c,c), (c,a), (d,d), (d,c)}. Có (a,c) và (c,a) thuộc R, vậy a=c. Quan hệ này có tính phản đối xứng. Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án 2 thỏa mãn tính chất phản đối xứng vì không tồn tại cặp (x, y) và (y, x) đồng thời thuộc R, trừ khi x = y.

Quan hệ R được xác định là aRb khi và chỉ khi a + b = 2k, nghĩa là a + b là một số chẵn. Điều này xảy ra khi a và b cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Xét tập A = {11, 12, 13, 14, 15}: - Các số lẻ trong A là: 11, 13, 15. - Các số chẵn trong A là: 12, 14. Vậy, các cặp (a, b) thỏa mãn aRb là: - (11, 11), (13, 13), (15, 15): Vì 11+11=22, 13+13=26, 15+15=30 đều là số chẵn. - (12, 12), (14, 14): Vì 12+12=24, 14+14=28 đều là số chẵn. - (11, 13), (13, 11): Vì 11+13 = 24 là số chẵn. - (11, 15), (15, 11): Vì 11+15 = 26 là số chẵn. - (13, 15), (15, 13): Vì 13+15 = 28 là số chẵn. - (12, 14), (14, 12): Vì 12+14 = 26 là số chẵn. Kết hợp lại, ta được quan hệ R là: {(11,11), (12, 12), (13, 13), (14, 14), (15, 15), (11,13), (13, 11), (11, 15), (15, 11), (13, 15), (15, 13), (12, 14), (14, 12)}

Luật về phần tử trung hòa phát biểu rằng tồn tại một phần tử mà khi kết hợp với một phần tử khác thông qua một phép toán, sẽ không làm thay đổi phần tử đó. Trong logic mệnh đề, phần tử trung hòa cho phép tuyển (∨) là 0 (sai), và phần tử trung hòa cho phép hội (∧) là 1 (đúng). Do đó, phương án 3, \(p \vee 0 \Leftrightarrow p;p \wedge 1 \Leftrightarrow p\), thể hiện đúng luật về phần tử trung hòa, vì khi 'p' hoặc là 'sai' thì kết quả là 'p', và khi 'p' và 'đúng' thì kết quả là 'p'. Các phương án khác không thể hiện đúng luật này.

Đoạn chứng minh trên đi trực tiếp từ giả thiết "3n + 2 là lẻ" đến kết luận "n là lẻ" bằng cách sử dụng các phép suy luận logic. Cụ thể, nó sử dụng tính chất của số chẵn và số lẻ để suy ra 3n là lẻ, và từ đó suy ra n là lẻ. Vì vậy, đây là phương pháp chứng minh trực tiếp.