Biến đổi Laplace của hàm f(t)= t là?

Cho hàm số f(t) có ảnh Laplace là F(p). Khi đó, ảnh Laplace của tích phân từ 0 đến t của hàm số f(t) (tức là ∫₀^t f(τ) dτ) là F(p)/p.

Để hệ thống điều khiển được hoàn toàn, ma trận điều khiển được phải có hạng đầy đủ. Ma trận điều khiển được trong trường hợp này là:

\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} B&{AB} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1 - k} \end{array}} \right]\)

Trong đó:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&k \end{array}} \right]\), \(B = \left[ \begin{array}{l} 1\\ - 1 \end{array} \right]\)

\(AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ { - 1}&k \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} 1\\ - 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 1\\ - 1 - k \end{array} \right]\)

Để C có hạng đầy đủ, định thức của C phải khác 0.

\(\det (C) = 1*(-1-k) - (-1)*(-1) = -1 - k - 1 = -2 - k\)

Vậy, \(\det (C) \ne 0 \Leftrightarrow -2 - k \ne 0 \Leftrightarrow k \ne -2\)

Do đó, hệ thống điều khiển được hoàn toàn khi k ≠ -2

Phương trình [R(ω)-k/2]² + I²(ω) = (k/2)² là phương trình của một đường tròn trên mặt phẳng phức với trục hoành là phần thực R(ω) và trục tung là phần ảo I(ω). Tâm của đường tròn này là (k/2, 0) và bán kính là k/2.