Trong ngân hàng đề thi có 10 bài dễ, 9 bài trung bình và 8 bài khó. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đề thi có 3 bài gồm: 1 bài khó, 1 bài trung bình và 1 bài dễ?

Số cách rút 2 viên bi từ 10 viên là C(10, 2) = 45.
Xác suất để có ít nhất 1 viên đỏ bằng 1 trừ xác suất không có viên đỏ nào. Tức là cả 2 viên đều đen.
Số cách rút 2 viên đen từ 4 viên đen là C(4, 2) = 6.
Xác suất để cả 2 viên đều đen là 6/45 = 2/15.
Xác suất để có ít nhất 1 viên đỏ là 1 - 2/15 = 13/15.

Số sinh viên yếu trong lớp là 30 - 5 - 10 - 10 = 5. Số cách chọn 3 sinh viên từ 30 sinh viên là C(30, 3). Số cách chọn 3 sinh viên yếu từ 5 sinh viên yếu là C(5, 3). Vậy xác suất để cả 3 em được chọn đều là sinh viên yếu là: P = C(5,3) / C(30,3) = (5!/(3!2!)) / (30!/(3!27!)) = (5*4/2) / (30*29*28/(3*2)) = 10 / (30*29*14/3) = 1 / (29*14) = 1/406.

Ta có tổng cộng 10 bi, chia thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 5 bi.
Số cách chia 10 bi thành 2 phần 5 bi là C(10,5).
Để mỗi phần có cùng số bi đỏ và bi xanh, tức là mỗi phần có 2 bi đỏ và 3 bi xanh.
Số cách chọn 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ là C(4,2) = 6.
Số cách chọn 3 bi xanh từ 6 bi xanh là C(6,3) = 20.
Số cách chia để mỗi phần có 2 bi đỏ và 3 bi xanh là C(4,2) * C(6,3) = 6 * 20 = 120.
Tổng số cách chia 10 bi thành 2 phần 5 bi là C(10,5) = 10! / (5! * 5!) = (10*9*8*7*6) / (5*4*3*2*1) = 252.
Xác suất để mỗi phần đều có cùng số bi đỏ và bi xanh là 120/252 = 10/21.
Vậy đáp án đúng là B.

Gọi A là biến cố "nguồn thu nhận được thông tin".
Biến cố đối của A là Α = "nguồn không thu được thông tin lần nào cả".
P(A) = 1 - P(Α).
Vì xác suất thu được thông tin mỗi lần là 0,4, suy ra xác suất không thu được thông tin mỗi lần là 1 - 0,4 = 0,6.
Do tín hiệu được phát 3 lần độc lập, P(Α) = (0,6)^3 = 0,216.
Vậy, P(A) = 1 - 0,216 = 0,784.

Đầu tiên, ta cần tìm P(X ≤ 1) và P(X ≥ 1). Vì hàm mật độ f(x) chỉ được định nghĩa trên khoảng (0, 1), nên P(X ≤ 1) là tích phân của f(x) từ 0 đến 1, và P(X ≥ 2) = 0. Do đó P(X ≤ 14) = P(X ≤ 1) và P(X ≥ 12) = P(X ≥ 1).

Ta có:

P(X ≤ 1) = ∫012(x+2)5dx = 25∫01(x+2)dx = 25[x22+2x]01 = 25(12+2−0) = 25⋅52 = 15

P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - ∫012(x+2)5dx = 1 - 15 = 45
Vậy, P(X ≤ 1) + P(X ≥ 1) = 15+45 = 1. (Do đề bài có vẻ có sự nhầm lẫn về khoảng giá trị của X, giả sử P(X≤1)+P(X≥1) = P(X≤1) + (1 - P(X<1)) =1)
Ta tính lại như sau:
P(X≤4) = ∫012(x+2)5dx = 2/5 * (x^2/2 + 2x)| cận từ 0 đến 1 = 2/5 * (1/2 + 2) = 2/5 * 5/2 = 1/5 *5 = 1
P(X≥2)=0 (vì x chỉ từ 0 đến 1)
=> P(X ≤ 1) + P(X ≥ 2) = 1 + 0 =1. Vì các đáp án đều khác 1, nên có thể có lỗi trong đề bài, hoặc sai sót khi nhập liệu. Tuy nhiên, ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm ra đáp án có vẻ hợp lý nhất.
Vì đề bài cho P(X≤14)+P(X≥12), trong khi x chỉ nằm trong khoảng (0,1). Ta có thể hiểu câu hỏi là P(X≤1) + (1-P(X<2)) = P(X≤1) + (1-1) = P(X≤1) = 0.5 => không có đáp án phù hợp.

Ta sẽ xem xét trường hợp khác. Nếu đề bài là P(X≤0.4)+P(X≥0.2), ta sẽ tính toán như sau:
P(X≤0.4) = ∫00.42(x+2)5dx = 2/5 ∫00.4(x+2)dx = 2/5[x^2/2+2x]|00.4 = 2/5*(0.4^2/2 + 2*0.4)=2/5*(0.16/2 + 0.8)=2/5*(0.08+0.8)=2/5*0.88=1.76/5=0.352
P(X≥0.2) = ∫0.212(x+2)5dx=2/5∫0.21(x+2)dx=2/5[x^2/2+2x]|0.21=2/5*((1^2/2+2)-(0.2^2/2+0.2*2)) = 2/5*(2.5-(0.02+0.4)) = 2/5*(2.5-0.42)=2/5*2.08=4.16/5=0.832
P(X≤0.4)+P(X≥0.2) = 0.352+0.832=1.184. Vậy không có đáp án nào phù hợp.
Với dữ kiện đề bài, ta thấy không có đáp án nào đúng, tuy nhiên ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất.