Tìm phương án tối ưu của bài toán:

Để xác định một vectơ có phải là phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính hay không, chúng ta cần kiểm tra xem vectơ đó có thỏa mãn tất cả các ràng buộc của bài toán hay không. Trong trường hợp này, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ x có thỏa mãn hệ phương trình và điều kiện không âm hay không.

* Phương án A: x(1) = (0; 5; 29; 0; 7; 0)
* Thay vào các phương trình:
* x1 + x2 + x3 = 0 + 5 + 29 = 34 ≠ 20 (không thỏa mãn phương trình đầu)
* x2 + x4 + x5 = 5 + 0 + 7 = 12 = 12 (thỏa mãn phương trình thứ hai)
* x3 + x5 + x6 = 29 + 7 + 0 = 36 ≠ 30 (không thỏa mãn phương trình thứ ba)
* Điều kiện không âm: Tất cả các thành phần đều không âm (thỏa mãn).
* Kết luận: Vectơ x(1) không phải là một phương án vì không thỏa mãn tất cả các phương trình.

* Phương án B: x(2) = (0; 5; 29; 0; 7)
* Vectơ này không có đủ số thành phần (thiếu x6) để thay vào hệ phương trình đầy đủ, do đó không thể là phương án.

* Phương án C: x(3) = (5; 0; 29; 0; 7)
* Thay vào các phương trình:
* x1 + x2 + x3 = 5 + 0 + 29 = 34 ≠ 20 (không thỏa mãn phương trình đầu)
* x2 + x4 + x5 = 0 + 0 + 7 = 7 ≠ 12 (không thỏa mãn phương trình thứ hai)
* x3 + x5 + x6: Vì không có x6 nên không thể kiểm tra.
* Điều kiện không âm: Tất cả các thành phần đều không âm (thỏa mãn).
* Kết luận: Vectơ x(3) không phải là một phương án vì không thỏa mãn các phương trình.

Vì cả ba phương án A, B, C đều không phải là phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho, nên đáp án đúng là D.

Công thức tính hệ số co giãn của Y theo X tại điểm X0 là:

E = (Biên tế của Y) / (Trung bình của Y)

Trong bài toán này:

Biên tế của Y = 4,5
Trung bình của Y = 1,6
Vậy, E = 4,5 / 1,6 = 2,8125

Để tổng chi phí đạt cực tiểu thỏa mãn ràng buộc F(K, L) = Q₀, ta cần thiết lập hàm Lagrange: L(K, L, λ) = TC(K, L) + λ[Q₀ - F(K, L)].

Điều kiện cần để hàm Lagrange đạt cực trị là đạo hàm riêng theo K, L và λ phải bằng 0:

1. ∂L/∂K = ∂TC/∂K - λ∂F/∂K = 0 => ∂TC/∂K / ∂F/∂K = λ

2. ∂L/∂L = ∂TC/∂L - λ∂F/∂L = 0 => ∂TC/∂L / ∂F/∂L = λ

Từ (1) và (2) => ∂TC/∂K / ∂F/∂K = ∂TC/∂L / ∂F/∂L => (∂TC/∂K) / (∂TC/∂L) = (∂F/∂K) / (∂F/∂L)

Trong đó:

- ∂TC/∂K = 5 (Đạo hàm của TC = 5K + 4L theo K)

- ∂TC/∂L = 4 (Đạo hàm của TC = 5K + 4L theo L)

Vậy (∂TC/∂K) / (∂TC/∂L) = 5/4. Do đó, điều kiện cần là: (∂F/∂K) / (∂F/∂L) = 5/4.

So sánh với các đáp án, không có đáp án nào thỏa mãn điều kiện này.

Phần tử a_{12} trong ma trận hệ số chi phí trực tiếp biểu thị lượng giá trị sản phẩm của ngành 1 cần thiết để sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành 2. Trong trường hợp này, a_{12} = 0,15, có nghĩa là để sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành 2, ngành 1 phải cung cấp trực tiếp một giá trị sản lượng là 0,15.

Để giải bài toán này, ta sử dụng mô hình Leontief (Input-Output). Công thức tính tổng sản lượng X là: X = (I - A)^(-1) * Y, trong đó:

* I là ma trận đơn vị.
* A là ma trận hệ số chi phí trực tiếp.
* Y là vector nhu cầu cuối cùng.

Trong bài toán này:

* A = [[0.2, 0.3],
[0.4, 0.1]]
* Y = [[10],
[10]]

Bước 1: Tính (I - A):

I - A = [[1, 0],
[0, 1]] - [[0.2, 0.3],
[0.4, 0.1]]

I - A = [[0.8, -0.3],
[-0.4, 0.9]]

Bước 2: Tính ma trận nghịch đảo (I - A)^(-1):

(I - A)^(-1) = 1 / (0.8*0.9 - (-0.3)*(-0.4)) * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = 1 / (0.72 - 0.12) * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = 1 / 0.6 * [[0.9, 0.3],
[0.4, 0.8]]

(I - A)^(-1) = [[1.5, 0.5],
[0.6667, 1.3333]]

Bước 3: Tính X = (I - A)^(-1) * Y

X = [[1.5, 0.5],
[0.6667, 1.3333]] * [[10],
[10]]

X = [[1.5 * 10 + 0.5 * 10],
[0.6667 * 10 + 1.3333 * 10]]

X = [[15 + 5],
[6.667 + 13.333]]

X = [[20],
[20]]

Vậy, X = (20; 20). Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp. Có lẽ, trong quá trình tính toán, có sai số làm tròn hoặc đề bài có sự nhầm lẫn. Nếu theo quy trình giải, đáp án gần đúng nhất có thể là D. X = (30; 20) nhưng không có cơ sở chắc chắn.

Kết luận: Không có đáp án chính xác hoàn toàn trong các lựa chọn đã cho.