Cho một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và phân phối loại sản phẩm này trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu của loại sản phẩm này trên từng thị trường là: QD1 = 300 – P1; QD2 = 400 – P2; với P1 và P2 là giá của hai loại sản phẩm này trên hai thị trường. Hàm chi phí sản xuất của xí nghiệp là C = 100Q + 10 với Q1 + Q2 = Q là sản lượng của doanh nghiệp và Q1, Q2 là lượng hàng phân phối tương ứng trên từng thị trường. Tìm Q1, Q2 để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Câu 49:

Xét mô hình Input – Output mở Leontief có ma trận hệ số đầu vào , cho biết sản lượng của ngành 3 là 200 (đơn vị tiền). Chọn mệnh đề đúng.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Trong mô hình Input - Output mở Leontief, ma trận hệ số đầu vào cho biết một đơn vị sản phẩm của một ngành cần bao nhiêu đơn vị sản phẩm của các ngành khác.

Cụ thể, hệ số ở dòng i, cột j cho biết để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm của ngành j thì ngành i cần cung cấp bao nhiêu đơn vị.

Trong bài toán này, ta có:

- Sản lượng ngành 3 là 200 (dơn vị tiền)

- Hệ số đầu vào của ngành 1 cho ngành 3 là 0.4.

Vậy số lượng mà ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là: 0.4 * 200 = 80 (dơn vị tiền).

Câu 50:

Cho biết hàm cầu của một mặt hàng xác định bởi Q_D = (1200 – 2P)^0,5, trong đó Q_D là lượng cầu và P là giá bán. Khi lượng cầu bằng 30 thì hệ số co giãn của nó bằng.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm hệ số co giãn của cầu theo giá, ta sử dụng công thức:

E_d = (dQ_D/dP) * (P/Q_D)

Bước 1: Tính P khi Q_D = 30

Từ hàm cầu Q_D = (1200 - 2P)^0.5, ta có:

30 = (1200 - 2P)^0.5

Bình phương cả hai vế:

900 = 1200 - 2P

2P = 300

P = 150

Bước 2: Tính dQ_D/dP

Q_D = (1200 - 2P)^0.5 = (1200 - 2P)^1/2

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

dQ_D/dP = (1/2) * (1200 - 2P)^-1/2 * (-2)

dQ_D/dP = -1 / (1200 - 2P)^0.5

Khi P = 150, ta có:

dQ_D/dP = -1 / (1200 - 2*150)^0.5 = -1 / (1200 - 300)^0.5 = -1 / (900)^0.5 = -1/30

Bước 3: Tính hệ số co giãn

E_d = (dQ_D/dP) * (P/Q_D)

E_d = (-1/30) * (150/30)

E_d = (-1/30) * 5

E_d = -5/30 = -1/6

Vậy, hệ số co giãn của cầu theo giá là -1/6.

Câu 1:

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận hệ số.

Câu 2:

Cho ma trận . Biện luận nào sau đây đúng về hạng của ma trận A.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để biện luận về hạng của ma trận A, ta cần tìm định thức của nó. Ma trận A là:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & 4 & m
\end{bmatrix}
$$

Tính định thức của A:

$$
det(A) = 1(2m - (-1)(4)) - 1(1m - (-1)(1)) + 1(1(4) - 2(1)) \\
= 2m + 4 - (m + 1) + (4 - 2) \\
= 2m + 4 - m - 1 + 2 \\
= m + 5
$$

Nếu $m \neq -5$, thì $\det(A) \neq 0$, do đó hạng của A là 3.
Nếu $m = -5$, thì $\det(A) = 0$, hạng của A nhỏ hơn 3. Thay $m = -5$ vào A:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & 4 & -5
\end{bmatrix}
$$

Ta thấy có định thức con cấp 2 khác 0 (ví dụ $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$). Vậy, hạng của A là 2 khi $m = -5$.

Vậy, $r(A) = 3$ khi $m \neq -5$ và $r(A) = 2$ khi $m = -5$. Do đó, đáp án đúng nhất phải là m khác -5 thì hạng của A bằng 3.

Câu 3:

Cho hàm chi phí với Q₁, Q₂ là các mức sản lượng cần sản xuất. Gọi MC_Q1 là chi phí biên tế theo Q₁. Tại (Q₁, Q₂) = (2, 3). Thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm chi phí biên tế theo Q1 (MCQ1), ta cần tính đạo hàm riêng của hàm chi phí theo Q1, sau đó thay giá trị Q1 = 2 và Q2 = 3 vào đạo hàm đó.

Hàm chi phí: C = 4Q1^2 + 2Q1Q2 + 3Q2^2

Tính đạo hàm riêng của C theo Q1:
MCQ1 = ∂C/∂Q1 = 8Q1 + 2Q2

Thay Q1 = 2 và Q2 = 3 vào biểu thức trên:
MCQ1 = 8(2) + 2(3) = 16 + 6 = 22

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán là 22. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc các đáp án.
Trong trường hợp này, ta chọn đáp án gần đúng nhất, nhưng cần lưu ý rằng không có đáp án chính xác theo tính toán trên.
Nếu đề bài không sai, có thể người ra đề muốn kiểm tra cách tính đạo hàm riêng và thay số, chứ không nhất thiết là một trong các đáp án phải đúng hoàn toàn.

Câu 4:

Nếu f(x) = 2 + |x – 1| thì đạo hàm của f tại x = 1 là:

Lời giải: