Cho ma trận . Biện luận nào sau đây đúng về hạng của ma trận A.
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để biện luận về hạng của ma trận A, ta cần tìm định thức của nó. Ma trận A là:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & 4 & m
\end{bmatrix}
$$
Tính định thức của A:
$$
det(A) = 1(2m - (-1)(4)) - 1(1m - (-1)(1)) + 1(1(4) - 2(1)) \\
= 2m + 4 - (m + 1) + (4 - 2) \\
= 2m + 4 - m - 1 + 2 \\
= m + 5
$$
Nếu $m \neq -5$, thì $\det(A) \neq 0$, do đó hạng của A là 3.
Nếu $m = -5$, thì $\det(A) = 0$, hạng của A nhỏ hơn 3. Thay $m = -5$ vào A:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & 4 & -5
\end{bmatrix}
$$
Ta thấy có định thức con cấp 2 khác 0 (ví dụ $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$). Vậy, hạng của A là 2 khi $m = -5$.
Vậy, $r(A) = 3$ khi $m \neq -5$ và $r(A) = 2$ khi $m = -5$. Do đó, đáp án đúng nhất phải là m khác -5 thì hạng của A bằng 3.