Cho hàm lợi ích đối với 2 sản phẩm là U (x, y) =lnx + lny, trong đó x là lượng hàng thứ nhất, y là lượng hàng thứ hai. Một người tiêu dùng có thu nhập 36 triệu đồng để mua 2 sản phẩm trên. Biết Px = 2 và Py = 4 triệu đồng lần lượt là giá của 2 mặt hàng thứ nhất và thứ hai. Để Umax khi đó x, y sẽ là:
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tìm Umax, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hoặc quy tắc tối ưu hóa thông thường. Trong trường hợp này, hàm lợi ích Cobb-Douglas có dạng U(x, y) = lnx + lny, và ràng buộc ngân sách là Px*x + Py*y = I, với Px = 2, Py = 4, và I = 36.
Ta có thể viết lại ràng buộc ngân sách là 2x + 4y = 36, hoặc x + 2y = 18.
Để tối đa hóa hàm lợi ích, ta cần tìm điểm mà tỷ lệ thay thế biên (MRS) bằng với tỷ lệ giá cả:
MRS = (dU/dx) / (dU/dy) = (1/x) / (1/y) = y/x
Tỷ lệ giá cả là Px/Py = 2/4 = 1/2
Vậy, y/x = 1/2 => x = 2y
Thay x = 2y vào ràng buộc ngân sách: 2y + 2y = 18 => 4y = 18 => y = 18/4 = 9/2 = 4.5
Khi đó, x = 2 * (9/2) = 9
Vậy, x = 9 và y = 9/2
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có công thức |A*| = |A|^(n-1) với A là ma trận vuông cấp n. Trong trường hợp này, n = 4 và |A| = -3.
Vậy, |A*| = (-3)^(4-1) = (-3)^3 = -27.
Vậy, |A*| = (-3)^(4-1) = (-3)^3 = -27.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có |2A| = 24|A| = -48, suy ra |A| = -48/16 = -3.
Do đó, |3A-1| = 34|A-1| = 81/|A| = 81/(-3) = -27.
Vậy đáp án đúng là C.
Do đó, |3A-1| = 34|A-1| = 81/|A| = 81/(-3) = -27.
Vậy đáp án đúng là C.
(m là tham số thực). Số chiều của không gian nghiệm của hệ bằng 1 khi:Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để số chiều của không gian nghiệm của hệ bằng 1, thì hạng của ma trận hệ số phải bằng số ẩn trừ đi 1. Hệ phương trình thuần nhất có 3 ẩn, do đó hạng của ma trận hệ số phải bằng 2.
Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình:
Để hạng của ma trận bằng 2, định thức của một trong các định thức con cấp 2 phải khác 0. Xét định thức con tạo bởi 2 cột đầu tiên và 2 hàng đầu tiên:
= 8 - m ≠ 0 => m ≠ 8.
Vậy điều kiện để số chiều của không gian nghiệm của hệ bằng 1 là m ≠ 8.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để xác định hạng của hệ vectơ V, ta lập ma trận có các vectơ là các hàng (hoặc cột) và thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng (hoặc cột) để đưa ma trận về dạng bậc thang. Ma trận được thành lập từ các vectơ của V là:
| 0 -1 2 0 |
| 1 0 3 -1 |
| 1 2 -1 -1 |
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
1. Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 1 2 -1 -1 |
2. Trừ hàng 1 từ hàng 3:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 0 2 -4 0 |
3. Cộng 2 lần hàng 2 vào hàng 3:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 0 0 0 0 |
Ma trận đã được đưa về dạng bậc thang. Số hàng khác 0 là 2. Vậy hạng của hệ vectơ V là 2. Vì hạng của V là 2 và số lượng vectơ là 3 nên V phụ thuộc tuyến tính. Vậy, phương án A sai vì hạng của V không bằng 4. Phương án B sai vì hạng của V không bằng 3. Phương án C sai vì V không độc lập tuyến tính (V phụ thuộc tuyến tính). Phương án D đúng vì V phụ thuộc tuyến tính.
| 0 -1 2 0 |
| 1 0 3 -1 |
| 1 2 -1 -1 |
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
1. Đổi chỗ hàng 1 và hàng 2:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 1 2 -1 -1 |
2. Trừ hàng 1 từ hàng 3:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 0 2 -4 0 |
3. Cộng 2 lần hàng 2 vào hàng 3:
| 1 0 3 -1 |
| 0 -1 2 0 |
| 0 0 0 0 |
Ma trận đã được đưa về dạng bậc thang. Số hàng khác 0 là 2. Vậy hạng của hệ vectơ V là 2. Vì hạng của V là 2 và số lượng vectơ là 3 nên V phụ thuộc tuyến tính. Vậy, phương án A sai vì hạng của V không bằng 4. Phương án B sai vì hạng của V không bằng 3. Phương án C sai vì V không độc lập tuyến tính (V phụ thuộc tuyến tính). Phương án D đúng vì V phụ thuộc tuyến tính.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm dừng của hàm số f(x, y) và xét dấu của định thức Hessian tại điểm dừng đó.
1. Tìm điểm dừng:
- Tính đạo hàm riêng cấp 1:
- fx = 10x - 3y - 15
- fy = -3x + 2y - 1
- Giải hệ phương trình:
- 10x - 3y = 15
- -3x + 2y = 1
- Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3, ta được:
- 20x - 6y = 30
- -9x + 6y = 3
- Cộng hai phương trình lại, ta được: 11x = 33 => x = 3
- Thay x = 3 vào phương trình -3x + 2y = 1, ta được: -9 + 2y = 1 => 2y = 10 => y = 5
- Vậy điểm dừng là M(3, 5).
2. Tính đạo hàm riêng cấp 2:
- fxx = 10
- fyy = 2
- fxy = -3
3. Tính định thức Hessian:
- D(x, y) = fxx * fyy - (fxy)2
- D(3, 5) = 10 * 2 - (-3)2 = 20 - 9 = 11 > 0
4. Xét dấu của fxx:
- fxx(3, 5) = 10 > 0
Vì D(3, 5) > 0 và fxx(3, 5) > 0, hàm số f(x, y) đạt cực tiểu tại M(3, 5).
Vậy, f đạt cực tiểu toàn cục tại M(3; 5).
1. Tìm điểm dừng:
- Tính đạo hàm riêng cấp 1:
- fx = 10x - 3y - 15
- fy = -3x + 2y - 1
- Giải hệ phương trình:
- 10x - 3y = 15
- -3x + 2y = 1
- Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3, ta được:
- 20x - 6y = 30
- -9x + 6y = 3
- Cộng hai phương trình lại, ta được: 11x = 33 => x = 3
- Thay x = 3 vào phương trình -3x + 2y = 1, ta được: -9 + 2y = 1 => 2y = 10 => y = 5
- Vậy điểm dừng là M(3, 5).
2. Tính đạo hàm riêng cấp 2:
- fxx = 10
- fyy = 2
- fxy = -3
3. Tính định thức Hessian:
- D(x, y) = fxx * fyy - (fxy)2
- D(3, 5) = 10 * 2 - (-3)2 = 20 - 9 = 11 > 0
4. Xét dấu của fxx:
- fxx(3, 5) = 10 > 0
Vì D(3, 5) > 0 và fxx(3, 5) > 0, hàm số f(x, y) đạt cực tiểu tại M(3, 5).
Vậy, f đạt cực tiểu toàn cục tại M(3; 5).
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
. Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi:Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
