Câu hỏi:

Đây là một bài toán yêu cầu giải các phương trình lượng giác. Để giải, ta cần áp dụng các công thức lượng giác và biến đổi phù hợp để đưa về các phương trình cơ bản hoặc các dạng có thể giải được.

a) $\sin \left( {x - 120^\circ } \right) - \cos 2x = 0$


Ta có thể biến đổi phương trình như sau:
$\sin(x - 120^\circ) = \cos 2x$


Sử dụng công thức $\cos \alpha = \sin (90^\circ - \alpha)$, ta có:
$\sin(x - 120^\circ) = \sin (90^\circ - 2x)$


Khi đó, $x - 120^\circ = 90^\circ - 2x + k360^\circ$ hoặc $x - 120^\circ = 180^\circ - (90^\circ - 2x) + k360^\circ$, với $k \in \mathbb{Z}$.


Giải các trường hợp:

• $x - 120^\circ = 90^\circ - 2x + k360^\circ \Rightarrow 3x = 210^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = 70^\circ + k120^\circ$
• $x - 120^\circ = 180^\circ - (90^\circ - 2x) + k360^\circ \Rightarrow x - 120^\circ = 90^\circ + 2x + k360^\circ \Rightarrow -x = 210^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = -210^\circ + k'360^\circ$ (với $k' = -k$)

b) $\cos x.\,\cos 2x.\,\cos 4x.\,\cos 8x = \frac{1}{{16}}$


Nhân cả hai vế của phương trình với $16 \sin x$:
$16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$


Sử dụng công thức $2\sin x \cos x = \sin 2x$:
$8 (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$
$8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$
$4 (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = \sin x$
$4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = \sin x$
$2 (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = \sin x$
$2 \sin 8x \cos 8x = \sin x$
$\sin 16x = \sin x$


Khi đó, $16x = x + k2\pi$ hoặc $16x = \pi - x + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.


Giải các trường hợp:

• $16x = x + k2\pi \Rightarrow 15x = k2\pi \Rightarrow x = \frac{k2\pi}{15}$
• $16x = \pi - x + k2\pi \Rightarrow 17x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{17} + \frac{k2\pi}{17}$

Gọi cấp số cộng thứ nhất là $(u_n)$ và cấp số cộng thứ hai là $(v_n)$. Ta có:

$u_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1$, với $1 \le n \le 100$, suy ra $4 \le u_n \le 301$.
$v_m = 1 + (m-1)5 = 5m - 4$, với $1 \le m \le 100$, suy ra $-4 \le v_m \le 496$.

Ta cần tìm số các cặp $(n, m)$ sao cho $u_n = v_m$, tức là $3n + 1 = 5m - 4$, hay $3n = 5m - 5$, suy ra $3n = 5(m-1)$.
Vì 3 và 5 là nguyên tố cùng nhau, nên $n$ phải chia hết cho 5, hay $n = 5k$. Khi đó, $3(5k) = 5(m-1)$, suy ra $3k = m-1$, hay $m = 3k + 1$.

Ta có các điều kiện:

$1 \le n \le 100$, suy ra $1 \le 5k \le 100$, hay $1/5 \le k \le 20$, tức là $1 \le k \le 20$.
$1 \le m \le 100$, suy ra $1 \le 3k+1 \le 100$, hay $0 \le 3k \le 99$, tức là $0 \le k \le 33$, hay $1 \le k \le 33$.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có $1 \le k \le 20$. Vậy có 20 giá trị của $k$ thỏa mãn, tương ứng với 20 số hạng chung của hai cấp số cộng.

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phân tích dữ liệu đã cho.

a) Ước lượng thời gian sử dụng trung bình:
Để ước lượng thời gian sử dụng trung bình, ta sẽ sử dụng giá trị trung bình của mỗi khoảng thời gian và nhân với số lần tương ứng, sau đó chia cho tổng số lần.

• Khoảng $[7;9)$: Giá trị trung bình là $(7+9)/2 = 8$. Số lần là 2.


• Khoảng $[9;11)$: Giá trị trung bình là $(9+11)/2 = 10$. Số lần là 5.


• Khoảng $[11;13)$: Giá trị trung bình là $(11+13)/2 = 12$. Số lần là 7.


• Khoảng $[13;15)$: Giá trị trung bình là $(13+15)/2 = 14$. Số lần là 5.


• Khoảng $[15;17)$: Giá trị trung bình là $(15+17)/2 = 16$. Số lần là 1.

Tổng số lần là $2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20$.
Thời gian sử dụng trung bình là: $\frac{(8 \times 2) + (10 \times 5) + (12 \times 7) + (14 \times 5) + (16 \times 1)}{20} = \frac{16 + 50 + 84 + 70 + 16}{20} = \frac{236}{20} = 11.8$ giờ.
Vậy, thời gian sử dụng trung bình ước lượng là 11.8 giờ.

b) Nhận định của Hằng:
Để kiểm tra nhận định của Hằng, ta cần xem có bao nhiêu lần quạt sử dụng được dưới 10 giờ.

• Khoảng $[7;9)$: 2 lần.

Vậy có 2 lần quạt sử dụng được dưới 10 giờ.
Tổng số lần là 20. Tỉ lệ số lần sử dụng dưới 10 giờ là $\frac{2}{20} = 0.1 = 10\%$.
Nhận định của Hằng là không hợp lý, vì chỉ có 10% số lần sạc pin quạt dùng được dưới 10 giờ, không phải 25%.

Để đổi từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: $ \text{độ} = \text{radian} \times \frac{180}{\pi} $.
Trong trường hợp này, ta có:
$ - \frac{{13\pi }}{5} \times \frac{180}{\pi} = - \frac{13 \times 180}{5} = -13 \times 36 = -468^\circ $
Vậy, đáp án là $ - 468^\circ $.