Câu hỏi:

Đây là một bài toán yêu cầu giải các phương trình lượng giác. Để giải, ta cần áp dụng các công thức lượng giác và biến đổi phù hợp để đưa về các phương trình cơ bản hoặc các dạng có thể giải được. **a) $\sin \left( {x - 120^\circ } \right) - \cos 2x = 0$**
Ta có thể biến đổi phương trình như sau: $\sin(x - 120^\circ) = \cos 2x$
Sử dụng công thức $\cos \alpha = \sin (90^\circ - \alpha)$, ta có: $\sin(x - 120^\circ) = \sin (90^\circ - 2x)$
Khi đó, $x - 120^\circ = 90^\circ - 2x + k360^\circ$ hoặc $x - 120^\circ = 180^\circ - (90^\circ - 2x) + k360^\circ$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Giải các trường hợp:

• $x - 120^\circ = 90^\circ - 2x + k360^\circ \Rightarrow 3x = 210^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = 70^\circ + k120^\circ$
• $x - 120^\circ = 180^\circ - (90^\circ - 2x) + k360^\circ \Rightarrow x - 120^\circ = 90^\circ + 2x + k360^\circ \Rightarrow -x = 210^\circ + k360^\circ \Rightarrow x = -210^\circ + k'360^\circ$ (với $k' = -k$)

**b) $\cos x.\,\cos 2x.\,\cos 4x.\,\cos 8x = \frac{1}{{16}}$**
Nhân cả hai vế của phương trình với $16 \sin x$: $16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$
Sử dụng công thức $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $8 (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$ $8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$ $4 (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = \sin x$ $4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = \sin x$ $2 (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = \sin x$ $2 \sin 8x \cos 8x = \sin x$ $\sin 16x = \sin x$
Khi đó, $16x = x + k2\pi$ hoặc $16x = \pi - x + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Giải các trường hợp:

• $16x = x + k2\pi \Rightarrow 15x = k2\pi \Rightarrow x = \frac{k2\pi}{15}$
• $16x = \pi - x + k2\pi \Rightarrow 17x = \pi + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{17} + \frac{k2\pi}{17}$