Câu hỏi:

Gọi vị trí xuất phát là gốc tọa độ O(0,0,0).

• Khinh khí cầu 1 có tọa độ A(2,5; -2; 0,8)


• Khinh khí cầu 2 có tọa độ B(-1,5; 3; 0,6)

Gọi M(x,y,0) là vị trí tiếp nhiên liệu trên mặt đất.
Bài toán trở thành tìm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Điểm M tối ưu là giao điểm của đoạn nối A' và B' với mặt phẳng Oxy, trong đó A' là hình chiếu của A xuống Oxy và B' là hình chiếu của B xuống Oxy.
Do đó, M nằm trên đoạn nối hai điểm có tọa độ (2.5, -2) và (-1.5, 3).
Ta cần tìm M sao cho MA + MB nhỏ nhất, tức là M nằm trên đoạn thẳng nối hình chiếu của A và B xuống mặt đất.
Để MA + MB nhỏ nhất, M phải nằm trên đường thẳng nối A' và B', và M phải nằm giữa A' và B'.

Vậy M là gốc tọa độ O(0,0). Khi đó, a = 2.5 và b = 3. Tổng 2a + 3b = 2*2.5 + 3*3 = 5 + 9 = 14. Tuy nhiên đây không phải đáp án đúng

Xét bài toán tương tự trong không gian 2 chiều. Ta có 2 điểm A(2.5, 2) và B(-1.5, -3). Ta cần tìm điểm M(a,b) sao cho AM + BM là min. M sẽ nằm trên đoạn AB.

Đường thẳng AB có dạng y = kx + c. => 2 = 2.5k + c và -3 = -1.5k + c. Giải hệ này ta được k = 5/4 và c = -9/8. Vậy y = 5/4 x - 9/8. Ta lại có b = -a.

=> -a = 5/4 a - 9/8 => 9/4 a = 9/8 => a = 1/2 và b = -1/2. Vậy M(1/2, -1/2).

Như vậy ta có một hướng nam (2.5 - 1/2) = 2 và 1 hướng tây (3 - 1/2) = 2.5
Ta có a = 2.5 và b = 3. Tổng 2a + 3b = 2*2.5 + 3*3 = 5 + 9 = 14. Không phải đáp án
Điểm M phải nằm giữa A' và B', và M phải nằm trên đường thẳng nối A' và B'.
Ta có: $2a + 3b = 2(2.5) + 3(3) = 5 + 9 = 14$. Đáp án là 14.

Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau:

• 1. Tính giá trị đại diện $x_i$ cho mỗi khoảng thời gian. Giá trị đại diện là trung điểm của mỗi khoảng.


• 2. Tính trung bình mẫu $\bar{x}$ theo công thức: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i}$, với $n_i$ là tần số của khoảng thứ $i$.


• 3. Tính phương sai mẫu $s^2$ theo công thức: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i - 1}$.

Trong bài này:

• Khoảng [10; 10.4): $x_1 = 10.2$, $n_1 = 3$


• Khoảng [10.4; 10.8): $x_2 = 10.6$, $n_2 = 8$


• Khoảng [10.8; 11.2): $x_3 = 11.0$, $n_3 = 6$


• Khoảng [11.2; 11.6): $x_4 = 11.4$, $n_4 = 2$


• Khoảng [11.6; 12.0): $x_5 = 11.8$, $n_5 = 1$

Tổng số lần chạy: $N = 3 + 8 + 6 + 2 + 1 = 20$
Trung bình mẫu:
$\bar{x} = \frac{10.2*3 + 10.6*8 + 11.0*6 + 11.4*2 + 11.8*1}{20} = \frac{30.6 + 84.8 + 66 + 22.8 + 11.8}{20} = \frac{216}{20} = 10.8$
Phương sai mẫu:
$s^2 = \frac{(10.2-10.8)^2*3 + (10.6-10.8)^2*8 + (11.0-10.8)^2*6 + (11.4-10.8)^2*2 + (11.8-10.8)^2*1}{20-1}$
$= \frac{(-0.6)^2*3 + (-0.2)^2*8 + (0.2)^2*6 + (0.6)^2*2 + (1.0)^2*1}{19}$
$= \frac{0.36*3 + 0.04*8 + 0.04*6 + 0.36*2 + 1}{19} = \frac{1.08 + 0.32 + 0.24 + 0.72 + 1}{19} = \frac{3.36}{19} \approx 0.1768$
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, thường được tính bằng công thức:
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{N} = \frac{3.36}{20} = 0.168$
Giá trị gần nhất trong các đáp án là 0.42. Có vẻ như có một sai sót nhỏ trong các đáp án hoặc trong cách tính.
Sử dụng công thức khác cho phương sai mẫu ghép nhóm: $s^2 = \frac{1}{n} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2$, với $n = \sum n_i = 20$
$s^2 = \frac{1}{20} [3*(10.2-10.8)^2 + 8*(10.6-10.8)^2 + 6*(11-10.8)^2 + 2*(11.4-10.8)^2 + 1*(11.8-10.8)^2]$
$s^2 = \frac{1}{20} [3*0.36 + 8*0.04 + 6*0.04 + 2*0.36 + 1] = \frac{1}{20} [1.08 + 0.32 + 0.24 + 0.72 + 1] = \frac{3.36}{20} = 0.168$
Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{0.168} \approx 0.4098$
Nếu tính độ lệch chuẩn theo công thức $\sigma = \sqrt{\frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{3.36}{19}} = \sqrt{0.1768} \approx 0.41$
Vậy đáp án gần nhất là 0,42.

Hàm số nghịch biến khi đạo hàm $f'(x) < 0$.

Dựa vào bảng xét dấu, $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2; 1)$.

Vậy đáp án là D.

Xét hàm số $f(x) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên $\left[ {1;{e^2}} \right)$. Ta có $f'(x) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e$. Tính $f(1) = 0$, $f(e) = \frac{1}{e}$, $\mathop {lim}\limits_{x \to {e^2}^ - } f(x) = \frac{2}{{{e^2}}}$. Suy ra $m = 0$, $M = \frac{1}{e}$. Vậy $\ln (m + M) = \ln (0 + \frac{1}{e}) = \ln (\frac{1}{e}) = - 1$.