Câu hỏi:

Phương trình đường thẳng đi qua $A\left(1;-2;0 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P \right):x-2y+2z+1=0$ là

\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z}{-2}

\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z}{2}

\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z}{2}

\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{2}

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z + 1 = 0$ nên nhận vector pháp tuyến của $(P)$ làm vector chỉ phương.
Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1, -2, 2)$.
Vậy, phương trình đường thẳng đi qua $A(1, -2, 0)$ và có vector chỉ phương $\vec{u} = (1, -2, 2)$ là: $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+2}{-2} = \dfrac{z}{2}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Bí quyết giải Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Dạng 8: Nhận biết và lập phương trình đường thẳng trong không gian

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(2;1;-3 \right)$ , $B\left(3;0;1 \right)$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow{AB} = (3-2; 0-1; 1-(-3)) = (1; -1; 4)$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A(2;1;-3)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1; -1; 4)$ là: $\left\{ \begin{aligned}& x=2+t \\& y=1-t \\& z=-3+4t \end{aligned} \right.$

Câu 14:

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left(P \right):2x-y-2z+1=0$ . Đường thẳng nằm trong $\left(P \right)$ , cắt và vuông góc với $d$ có phương trình

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và đường thẳng cần tìm.

Vì $A$ thuộc $d$ nên $A(1+t; -t; 2+t)$.

Vì $A$ thuộc $(P)$ nên $2(1+t) - (-t) - 2(2+t) + 1 = 0 \Rightarrow 2 + 2t + t - 4 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow t = 1$.

Vậy $A(2; -1; 3)$.

Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{u_d} = (1; -1; 1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vector pháp tuyến $\overrightarrow{n_P} = (2; -1; -2)$.

Đường thẳng cần tìm vuông góc với $d$ và nằm trong $(P)$ nên có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d}, \overrightarrow{n_P}] = (3; 4; 1)$.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{1}$.

Câu 15:

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Đường thẳng ${d}'$ đối xứng với $d$ qua mặt phẳng $\left(Oyz \right)$ có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$. Phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ biến điểm $(x, y, z)$ thành điểm $(-x, y, z)$.

Do đó, đường thẳng $d': \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $d: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.

Câu 16:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ , với $A(2;-1;-2),\,B\left(1;2;-3 \right)$ và $C(2;3;0)$ . Đường cao đi qua $A$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow{BC} = (1, 1, 3)$.
Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường cao kẻ từ $A$ là:
$\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{3}$

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và $d_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $\left(P \right):x+y+z-7=0$ và cắt $d_1,\,d_2$ lần lượt tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:\

$d_1$ đi qua $M_1(1;0;-2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (2;1;-1)$

$d_2$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (1;3;-2)$

Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Do $\Delta$ song song với $(P): x+y+z-7=0$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$

$\Rightarrow a+b+c = 0$ (*)

Do $\Delta$ cắt $d_1, d_2$ tại $A, B$ sao cho $AB$ ngắn nhất nên $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1, d_2$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_2}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2a+b-c = 0 \\ a+3b-2c = 0 \end{cases}$ (**)

Giải (*) và (**), ta có: $\begin{cases} a = t \\ b = 0 \\ c = -t \end{cases}$

$\Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;0;-1)$

$\overrightarrow{M_1M_2} = (0;-2;4)$

$\left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u_1} \right] = ( -1; 1; -1)$

$d(d_1, d_2) = \dfrac{\left| \overrightarrow{M_1M_2}. \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right] \right|} = \dfrac{\left| 0.(-1) + (-2).1 + 4.(-1) \right|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d_1$ và song song với $\Delta$ là:

$a(x-1) + b(y-0) + c(z+2) = 0 \\ \overrightarrow{n_P} = \left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u} \right] = (-1;1;1)$

$(-1)(x-1) + 1(y-0) + 1(z+2) = 0 \\ -x+1+y+z+2 = 0 \\ -x+y+z+3 = 0$

$
$\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M_2(1;-2;2)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (1;0;-1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$1(x-1) + 0(y+2) -1(z-2) = 0 \\ x-z + 1 = 0$

$\Delta$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$

$\begin{cases} -x+y+z+3 = 0 \\ x-z+1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -4 \\ z = x+1 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x = t \\ y = -4 \\ z = t+1 \end{cases}$

Chọn $t=6$ ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & x=6-t \\& y=\dfrac{5}{2} \\& z=-\dfrac{9}{2}+t \end{aligned} \right.$

Câu 18:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ , $d_1:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+3}{-2}$ và $d_2:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-3}{-3}=\dfrac{z}{2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $d$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào sau đây?

Lời giải: