Câu hỏi:

Vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3; 1]$ tại $x=0$, ta có $f'(0) = 0$ và $f'(x) = 0$ có nghiệm $x=0$. Ta có $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Vì $f'(0) = 0$, suy ra $c = 0$. Vì $x=0$ là điểm cực trị, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx = x(3ax + 2b)$. Vậy $f'(x)$ có nghiệm $x=0$ và $x = -\frac{2b}{3a}$. Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$, ta cần xét dấu của $f'(x)$. Nếu $a > 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số đồng biến trên $(0; 1]$ và nghịch biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu. Nếu $a < 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số nghịch biến trên $(0; 1]$ và đồng biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực đại. Do đó, $a > 0$. Để $x=0$ là điểm cực tiểu, ta cần $- \frac{2b}{3a} \notin (-3; 1)$. Trường hợp 1: $- \frac{2b}{3a} < -3 \Leftrightarrow -2b < -9a \Leftrightarrow 2b > 9a > 0$. Vì $a > 0$, $b > 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Trường hợp 2: $- \frac{2b}{3a} > 1 \Leftrightarrow -2b > 3a \Leftrightarrow 2b < -3a < 0$. Vì $a > 0$, $b < 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Nhận thấy, nếu $b = 0$ thì $f'(x) = 3ax^2 \geq 0$, hàm số đồng biến trên $[-3, 0]$ và $[0, 1]$. Vậy $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất. Khi $b = 0$, ta có $T = a - b + c = a - 0 + 0 = a$. Ta không thể xác định giá trị của $a$.