Câu hỏi:

Để tìm mức thuế $t$ sao cho nhà nước thu được số tiền thuế lớn nhất và doanh nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất, ta thực hiện các bước sau:
- Tính lợi nhuận trước thuế: $P(x) = R(x) - C(x) = (-x^2 + 46x) - (2x^2 + 6x + 18) = -3x^2 + 40x - 18$
- Tính lợi nhuận sau thuế: $P_t(x) = R(x) - C(x) - tx = -3x^2 + (40-t)x - 18$
- Tính tiền thuế nhà nước thu được: $T(x) = tx$

Để tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp sau thuế và tiền thuế nhà nước thu được, ta cần tìm $x$ để $P_t(x)$ đạt giá trị lớn nhất.
x_{max} = (40-t) / 6
Tiền thuế nhà nước thu được là $T(x) = tx = t((40-t)/6) = (40t - t^2)/6$
Để tối đa hóa tiền thuế, ta tìm đạo hàm của $T(t)$ theo $t$ và giải:
T'(t) = (40 - 2t)/6 = 0 => t = 20
Khi t = 20, x = (40-20)/6 = 10/3

Tuy nhiên, cần xem xét các giá trị khác của t.
Xét t = 5, x = (40-5)/6 = 35/6. Lợi nhuận của doanh nghiệp là khoảng 84.083 và số tiền thuế là khoảng 29.167
Xét t = 10, x = 5. Lợi nhuận của doanh nghiệp là 57 và số tiền thuế là 50
Xét t = 15, x = 25/6. Lợi nhuận của doanh nghiệp là khoảng 34.083 và số tiền thuế là 62.5
So sánh các trường hợp, thấy rằng t=5 cho lợi nhuận doanh nghiệp lớn và t=15 cho số tiền thuế lớn. Để doanh nghiệp và nhà nước cùng có lợi nhuận cao, cần xem xét thêm. Tuy nhiên bài toán có vẻ thiếu dữ kiện.
Vì đáp án có 5, 10, 15, 20 nên ta chọn t=5 là đáp án hợp lý nhất.

Ta có: $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(3\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AF}) = \frac{3}{2}\overrightarrow{AE} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}$

Vậy $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{3}{4}$

$x + y = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2-1; 2-(-2); 1-3) = (1; 4; -2)$.
Vậy $AB = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy:

• $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-1; 0)$, suy ra hàm số đồng biến trên đoạn $[-1; 0]$.
• $f'(x) < 0$ trên khoảng $(0; 1)$, suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn $[0; 1]$.

Vậy, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1; 1]$ là $f(0)$.