Câu hỏi:

Dựa vào đồ thị hàm số $y=g(x)$:

• Mệnh đề a) Sai vì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$.
  
  
• Mệnh đề b) Đúng vì hàm số $y = f(x)$ có một điểm cực tiểu $x=0$.
  
  
• Mệnh đề c) Sai vì $g'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$, và $g'(x) = 0$ tại $x=1$.
  
  
• Mệnh đề d) Đúng vì trên khoảng $(0; +\infty)$, đồ thị hàm số $y=g(x)$ đi lên.
  
  

Phân tích từng khẳng định:

• a) Sai. Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$. Hàm số không có khoảng nghịch biến nào.


• b) Sai. Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm có $x=-1$


• c) Sai. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 0$.


• d) Đúng. Các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị là $(-2; 0), (-1; 1), (1; -1), (2; 0)$. Vậy có đúng 4 điểm.

Vậy đáp án đúng là: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng

• Tính tọa độ trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:


• $G = (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3})$


• $G = (\frac{1 + (-1) + 3}{3}; \frac{2 + 0 + 2}{3}; \frac{3 + 2 + 1}{3}) = (\frac{3}{3}; \frac{4}{3}; \frac{6}{3}) = (1; \frac{4}{3}; 2)$

Vậy tọa độ trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ là $G(1;\frac{4}{3};2)$.

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề:

• a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu Quy Nhơn: Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Dựa vào bảng số liệu, ta thấy số năm ở Quy Nhơn có số giờ nắng nhiều nhất là 280, ít nhất là 112. Vậy khoảng biến thiên là $280 - 112 = 168$. Vậy mệnh đề a) sai.
  


• b) Phương sai của mẫu số liệu Nha Trang:
  Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Nha Trang:$\bar{x} = \frac{1*150 + 1*170 + 1*190 + 8*210 + 7*230 + 2*250}{1+1+1+8+7+2} = \frac{150 + 170 + 190 + 1680 + 1610 + 500}{20} = \frac{4340}{20} = 217$\
  Tính phương sai: $s^2 = \frac{1*(150-217)^2 + 1*(170-217)^2 + 1*(190-217)^2 + 8*(210-217)^2 + 7*(230-217)^2 + 2*(250-217)^2}{20} = \frac{4489 + 2209 + 729 + 8*49 + 7*169 + 2*1089}{20} = \frac{4489 + 2209 + 729 + 392 + 1183 + 2178}{20} = \frac{11180}{20} = 559 $
  Vậy mệnh đề b) sai.
  


• c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu Quy Nhơn:
  Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Quy Nhơn:$\bar{x} = \frac{0*110 + 1*130 + 2*150 + 4*170 + 10*190 + 3*210}{0+1+2+4+10+3} = \frac{0 + 130 + 300 + 680 + 1900 + 630}{20} = \frac{3640}{20} = 182$\
  Tính phương sai: $s^2 = \frac{0*(110-182)^2 + 1*(130-182)^2 + 2*(150-182)^2 + 4*(170-182)^2 + 10*(190-182)^2 + 3*(210-182)^2}{20} = \frac{0 + 2704 + 2*1024 + 4*144 + 10*64 + 3*784}{20} = \frac{2704 + 2048 + 576 + 640 + 2352}{20} = \frac{8320}{20} = 416 $
  Độ lệch chuẩn là: $\sqrt{416} \approx 20.39$. Vậy mệnh đề c) sai.
  


• d) So sánh độ lệch chuẩn: Nha Trang có độ lệch chuẩn là $\sqrt{559} \approx 23.64$. Quy Nhơn có độ lệch chuẩn là $20.39$. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì số liệu đồng đều hơn. Vậy số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn. Vậy mệnh đề d) sai.
  

Vậy tất cả các mệnh đề đều sai.

Vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3; 1]$ tại $x=0$, ta có $f'(0) = 0$ và $f'(x) = 0$ có nghiệm $x=0$. Ta có $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Vì $f'(0) = 0$, suy ra $c = 0$. Vì $x=0$ là điểm cực trị, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx = x(3ax + 2b)$. Vậy $f'(x)$ có nghiệm $x=0$ và $x = -\frac{2b}{3a}$. Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$, ta cần xét dấu của $f'(x)$. Nếu $a > 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số đồng biến trên $(0; 1]$ và nghịch biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu. Nếu $a < 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số nghịch biến trên $(0; 1]$ và đồng biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực đại. Do đó, $a > 0$. Để $x=0$ là điểm cực tiểu, ta cần $- \frac{2b}{3a} \notin (-3; 1)$. Trường hợp 1: $- \frac{2b}{3a} < -3 \Leftrightarrow -2b < -9a \Leftrightarrow 2b > 9a > 0$. Vì $a > 0$, $b > 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Trường hợp 2: $- \frac{2b}{3a} > 1 \Leftrightarrow -2b > 3a \Leftrightarrow 2b < -3a < 0$. Vì $a > 0$, $b < 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Nhận thấy, nếu $b = 0$ thì $f'(x) = 3ax^2 \geq 0$, hàm số đồng biến trên $[-3, 0]$ và $[0, 1]$. Vậy $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất. Khi $b = 0$, ta có $T = a - b + c = a - 0 + 0 = a$. Ta không thể xác định giá trị của $a$.