Câu hỏi:

Vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-3; 1]$ tại $x=0$, ta có $f'(0) = 0$ và $f'(x) = 0$ có nghiệm $x=0$. Ta có $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Vì $f'(0) = 0$, suy ra $c = 0$. Vì $x=0$ là điểm cực trị, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx = x(3ax + 2b)$. Vậy $f'(x)$ có nghiệm $x=0$ và $x = -\frac{2b}{3a}$. Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$, ta cần xét dấu của $f'(x)$. Nếu $a > 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số đồng biến trên $(0; 1]$ và nghịch biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu. Nếu $a < 0$ và $- \frac{2b}{3a} \notin [-3; 1]$, hàm số nghịch biến trên $(0; 1]$ và đồng biến trên $[-3; 0)$, suy ra $x=0$ là điểm cực đại. Do đó, $a > 0$. Để $x=0$ là điểm cực tiểu, ta cần $- \frac{2b}{3a} \notin (-3; 1)$. Trường hợp 1: $- \frac{2b}{3a} < -3 \Leftrightarrow -2b < -9a \Leftrightarrow 2b > 9a > 0$. Vì $a > 0$, $b > 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Trường hợp 2: $- \frac{2b}{3a} > 1 \Leftrightarrow -2b > 3a \Leftrightarrow 2b < -3a < 0$. Vì $a > 0$, $b < 0$. Khi đó, $f(-3) = -27a + 9b + d$ và $f(1) = a + b + d$. Không đủ dữ kiện để xác định dấu của $f(-3) - f(0)$ và $f(1) - f(0)$. Nhận thấy, nếu $b = 0$ thì $f'(x) = 3ax^2 \geq 0$, hàm số đồng biến trên $[-3, 0]$ và $[0, 1]$. Vậy $f(0)$ là giá trị nhỏ nhất. Khi $b = 0$, ta có $T = a - b + c = a - 0 + 0 = a$. Ta không thể xác định giá trị của $a$.

Ta có:

• Tiệm cận đứng: $x = 1$
• Tiệm cận ngang: $y = 1$

Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ là $|1| * |1| = 1$.
Diện tích hình chữ nhật được cho là 2, điều này không phụ thuộc vào m, vậy phải xem xét lại đề bài.
Ta có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1.
Khoảng cách từ tiệm cận đứng đến trục Oy là |1| = 1.
Khoảng cách từ tiệm cận ngang đến trục Ox là |1| = 1.
Vậy diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường tiệm cận và các trục tọa độ là |1| * |1| = 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết diện tích bằng 2.

Để tìm mức thuế $t$ sao cho nhà nước thu được số tiền thuế lớn nhất và doanh nghiệp thu được lợi nhuận lớn nhất, ta thực hiện các bước sau:
- Tính lợi nhuận trước thuế: $P(x) = R(x) - C(x) = (-x^2 + 46x) - (2x^2 + 6x + 18) = -3x^2 + 40x - 18$
- Tính lợi nhuận sau thuế: $P_t(x) = R(x) - C(x) - tx = -3x^2 + (40-t)x - 18$
- Tính tiền thuế nhà nước thu được: $T(x) = tx$

Để tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp sau thuế và tiền thuế nhà nước thu được, ta cần tìm $x$ để $P_t(x)$ đạt giá trị lớn nhất.
x_{max} = (40-t) / 6
Tiền thuế nhà nước thu được là $T(x) = tx = t((40-t)/6) = (40t - t^2)/6$
Để tối đa hóa tiền thuế, ta tìm đạo hàm của $T(t)$ theo $t$ và giải:
T'(t) = (40 - 2t)/6 = 0 => t = 20
Khi t = 20, x = (40-20)/6 = 10/3

Tuy nhiên, cần xem xét các giá trị khác của t.
Xét t = 5, x = (40-5)/6 = 35/6. Lợi nhuận của doanh nghiệp là khoảng 84.083 và số tiền thuế là khoảng 29.167
Xét t = 10, x = 5. Lợi nhuận của doanh nghiệp là 57 và số tiền thuế là 50
Xét t = 15, x = 25/6. Lợi nhuận của doanh nghiệp là khoảng 34.083 và số tiền thuế là 62.5
So sánh các trường hợp, thấy rằng t=5 cho lợi nhuận doanh nghiệp lớn và t=15 cho số tiền thuế lớn. Để doanh nghiệp và nhà nước cùng có lợi nhuận cao, cần xem xét thêm. Tuy nhiên bài toán có vẻ thiếu dữ kiện.
Vì đáp án có 5, 10, 15, 20 nên ta chọn t=5 là đáp án hợp lý nhất.

Ta có: $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(3\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AF}) = \frac{3}{2}\overrightarrow{AE} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}$

Vậy $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{3}{4}$

$x + y = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$